Bài giảng 8: Các ma trận có giá trị riêng không phân biệt

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Nếu một ma trận $n\times n\:A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt, với các vector riêng tương ứng $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ , và nếu $P=[\mathbf{v}_1\quad\dots\quad\mathbf{v}_n]$ , thì $P$ tự động khả nghịch vì các cột của nó là độc lập tuyến tính, theo định lý 2. Khi $A$ có thể chéo hóa nhưng có ít hơn $n$ giá trị riêng phân biệt, vẫn có thể xây dựng $P$ theo cách làm cho $P$ khả nghịch một cách tự động, như định lý tiếp theo sẽ chỉ ra.

Định lý 7

Cho  là một ma trận  có các giá trị riêng phân biệt là .
a. Với mỗi kk thỏa mãn , số chiều của không gian riêng ứng với  luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội số đại số của giá trị riêng .

b. Ma trận  là khả quy đường chéo khi và chỉ khi tổng số chiều của các không gian riêng bằng . Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
(i) Đa thức đặc trưng của  có thể phân tích hoàn toàn thành các nhân tử bậc nhất.
(ii) Số chiều của không gian riêng ứng với mỗi  bằng bội số đại số của .

c. Nếu  là khả quy đường chéo và  là một cơ sở của không gian riêng ứng với  cho mỗi , thì tập hợp tất cả các vectơ trong các tập  tạo thành một cơ sở riêng của .

Ví dụ 6: Đường chéo hóa ma trận sau, nếu có thể.

$A=\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&5&0&0\\1&4&-3&0\\-1&-2&0&-3\\\end{bmatrix}$

Giải: Vì $A$ là một ma trận tam giác, các giá trị riêng của nó là 5 và -3, mỗi giá trị có bội số đại số là 2. Sử dụng phương pháp trong bài trước, ta tìm được một cơ sở cho mỗi không gian riêng.

Cơ sở cho $\lambda=5$ :

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-8\\4\\1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-16\\4\\0\\1\end{bmatrix}$

Cơ sở cho $\lambda=-3$ :

$\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_4=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}$

Theo định lý 7, tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}$ là độc lập tuyến tính. Do đó, ma trận $P=[\mathbf{v}_1\quad\cdots\quad\mathbf{v}_4]$ là khả nghịch và ta có: $A=P D P^{-1}$ , trong đó:

$P=\begin{bmatrix}-8&-16&0&0\\4&4&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&-3&0\\0&0&0&-3\end{bmatrix}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 8: Các ma trận có giá trị riêng không phân biệt

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy