Bài giảng 5: Ứng dụng giá trị riêng và vector riêng vào hệ động lực

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Các giá trị riêng và vector riêng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả sự tiến hóa rời rạc của một hệ động lực, như đã đề cập trong phần giới thiệu.

Ví dụ 5: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}.95&.03\\.05&.97\\\end{bmatrix}$ . Phân tích hành vi dài hạn (khi $k$ tăng) của hệ động lực được định nghĩa bởi $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k,\,(k=0,1,2,\dots)$ với $\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}.6\\.4\end{bmatrix}$ .

Giải: Bước đầu tiên là tìm giá trị riêng của $A$ và một cơ sở cho mỗi không gian riêng. Phương trình đặc trưng của $A$ là

$0=\det\begin{bmatrix}.95-\lambda&.03\\.05&.97-\lambda\end{bmatrix}=(.95-\lambda)(.97-\lambda)-(.03)(.05)=\lambda^2-1.92\lambda+0.92$

Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai:

$\lambda=\frac{1.92\pm\sqrt{(1.92)^2-4(.92)}}{2}=\frac{1.92\pm\sqrt{.0064}}{2}$

$=\frac{1.92\pm.08}{2}=1\quad\text{or}\quad.92$

Tương ứng với các giá trị riêng $\lambda=1$ và $\lambda=.92$ , các vector riêng có dạng:

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix};\quad\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$

Bước tiếp theo là viết $\mathbf{x}_0$ đã cho theo $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ . Điều này có thể thực hiện được vì $\{\mathbf{{v_1,v_2}\}}$ rõ ràng là một cơ sở của $\mathbb{R}^2$ . (Tại sao?) Do đó, tồn tại các hệ số $c_1$ và $c_2$ sao cho

(2) $\begin{equation*}\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\end{equation*}$

Thực tế,

$\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=[\mathbf{v}_1\quad\mathbf{v}_2]^{-1}\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix}3&1\\5&-1\\\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}.60\\.40\end{bmatrix}$

(3) $\begin{equation*}=\frac{1}{-8}\begin{bmatrix}-1&-1\\-5&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}.60\\.40\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}.125\\.225\end{bmatrix}\end{equation*}$

Vì $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ trong (3) là các vector riêng của $A$ , với $A\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1$ và $A\mathbf{v}_2=.92\mathbf{v}_2$ , ta có thể dễ dàng tính từng $\mathbf{x}_k$ :

Sử dụng tính tuyến tính của ánh xạ $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ , vì $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ là các vector riêng, ta có:

$\mathbf{x}_1=A\mathbf{x}_0=c_1 A\mathbf{v}_1+c_2 A\mathbf{v}_2=c_1\mathbf{v}_1+c_2(.92)\mathbf{v}_2$

$\mathbf{x}_2=A\mathbf{x}_1=c_1 A\mathbf{v}_1+c_2\cdot(.92)A\mathbf{v}_2=c_1\mathbf{v}_1+c_2(.92)^2\mathbf{v}_2$

Khi đó, ta có công thức tổng quát cho $\mathbf{x}_k$ :

$\mathbf{x}_k=c_1\mathbf{v}_1+c_2(.92)^k\mathbf{v}_2\quad(k=0,1,2,...)$

Sử dụng $c_1$ và $c_2$ từ (4), ta có:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{x}_k=.125\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}+.225(.92)^k\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},\quad(k=0,1,2,\dots)\end{equation*}$

Công thức tường minh này cho $\mathbf{x}_k$ là nghiệm của phương trình sai phân $\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k$ . Khi $k\to\infty$ , $(.92)^k$ tiến dần về 0, do đó $\mathbf{x}_k$ hội tụ về $\begin{bmatrix}.375\\.625\end{bmatrix}=.125\mathbf{v}_1.$

Ứng dụng của kết quả này liên quan đến chuỗi Markov, đặc biệt là mô hình di cư giữa thành phố và vùng ngoại ô được thảo luận trong phần trước.

Ghi chú số học

Phần mềm máy tính như Mathematica và Maple có thể sử dụng tính toán ký hiệu để tìm đa thức đặc trưng của một ma trận có kích thước trung bình. Tuy nhiên, không có công thức hoặc thuật toán hữu hạn nào để giải phương trình đặc trưng của một ma trận tổng quát $n\times n$ khi $n\geq 5$ .

Các phương pháp số tốt nhất để tìm giá trị riêng thường tránh sử dụng đa thức đặc trưng. Thực tế, MATLAB tìm đa thức đặc trưng của một ma trận $A$ bằng cách tính trước các giá trị riêng $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ của $A$ , rồi sau đó mở rộng tích $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\dots(\lambda-\lambda_n)$ . Một số thuật toán phổ biến để ước lượng giá trị riêng của ma trận $A$ dựa trên định lý 4. Một kỹ thuật khác, gọi là phương pháp Jacobi, hoạt động khi $A=A^T$ và tính một dãy các ma trận có dạng:

$A_1=A,\quad A_{k+1}=P^{-1}A_k P_k\quad(k=1,2,\dots)$

Mỗi ma trận trong dãy này đều tương tự với $A$ , do đó chúng có cùng giá trị riêng với $A$ . Khi $k$ tăng, các phần tử không nằm trên đường chéo của $A_k$ tiến dần về 0, và các phần tử trên đường chéo tiến gần đến các giá trị riêng của $A$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Ứng dụng giá trị riêng và vector riêng vào hệ động lực

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy