Bài giảng 7: Đường chéo hóa ma trận

(Nếu công thức chưa load được hoặc mờ, các bạn ấn refresh để công thức hiện và rõ nét hơn nhé!)

Ví dụ 3: Đường chéo hóa ma trận sau nếu có thể:

$A=\begin{bmatrix}1&3&3\\-3&-5&-3\\3&3&1\\\end{bmatrix}$

Tức là, tìm một ma trận khả nghịch $P$ và một ma trận đường chéo $D$ sao cho $A=P D P^{-1}$ .

Giải: Có bốn bước để thực hiện theo định lý 5.

Bước 1: Tìm các trị riêng của $A$

Như đã đề cập, bước này thường được thực hiện bằng máy tính khi ma trận lớn hơn $2\times 2$ . Ở đây, phương trình đặc trưng có dạng:

$0=\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-3\lambda^2+4=-(\lambda-1)(\lambda+2)^2$

Các trị riêng là $\lambda=1$ và $\lambda=-2$ .

Bước 2: Tìm ba vectơ riêng độc lập tuyến tính của $A$

Vì $A$ là ma trận $3\times 3$ , cần tìm ba vectơ riêng. Nếu không tìm đủ, theo Định lý 5, $A$ không thể đường chéo hóa. Dùng phương pháp trong bài trước, ta tìm được các vectơ riêng như sau:

Cơ sở của không gian riêng tương ứng với $\lambda=1$ :

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}$

Cơ sở của không gian riêng tương ứng với $\lambda=-2$ :

$\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$

Bạn có thể kiểm tra rằng tập $\{\mathbf{v_1,v_2,v_3}\}$ là một tập độc lập tuyến tính.

Bước 3: Xây dựng ma trận $P$ từ các vectơ ở bước 2

Các vectơ có thể được sắp xếp theo bất kỳ thứ tự nào. Sử dụng thứ tự đã chọn ở bước 2, ta có:

$P=[\mathbf{v_{1}}\quad\mathbf{v_{2}}\quad\mathbf{v_{3}}]=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&1\\\end{bmatrix}$

Bước 4: Xây dựng ma trận $D$ từ các trị riêng

Ở bước này, cần đảm bảo rằng thứ tự của các trị riêng trong $D$ phải khớp với thứ tự các vectơ trong $P$ . Vì $\lambda=-2$ xuất hiện hai lần, ta điền nó vào $D$ :

$D=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}$

Một cách kiểm tra lại là tính $AP$ và $PD$ . Nếu $AP=PD$ , thì ta có $A=P D P^{-1}$ , miễn là $P$ khả nghịch.

$AP=\begin{bmatrix}1&3&3\\-3&-5&-3\\3&3&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2\\-1&-2&0\\1&0&-2\\\end{bmatrix}$

$PD=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2\\-1&-2&0\\1&0&-2\\\end{bmatrix}$

Ví dụ 4: Đường chéo hóa ma trận sau nếu có thể.

$A=\begin{bmatrix}2&4&3\\-4&-6&-3\\3&3&1\\\end{bmatrix}$

Giải: Phương trình đặc trưng của $A$ hóa ra giống hệt như trong ví dụ 3:

$0=\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-3\lambda^2+4=-(\lambda-1)(\lambda+2)^2$

Các trị riêng là $\lambda=1$ và $\lambda=-2$ . Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra rằng mỗi không gian riêng chỉ có một chiều:

Cơ sở của không gian riêng tương ứng với $\lambda=1$ :

$\mathbf{v_1}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}$

Cơ sở của không gian riêng tương ứng với $\lambda=-2$ :

$\mathbf{v_2}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$

Không có trị riêng nào khác, và mọi vectơ riêng của $A$ đều là bội của $\mathbf{v_1}$ hoặc $\mathbf{v_2}$ . Do đó, không thể xây dựng một cơ sở của $\mathbb{R}^3$ chỉ bằng các vectơ riêng của $A$ . Theo định lý 5, $A$ không thể đường chéo hóa.

Định lý sau đây cung cấp một điều kiện đủ để một ma trận có thể đường chéo hóa.

Định lý 6

Một ma trận  có  trị riêng phân biệt thì có thể đường chéo hóa.

Chứng minh:

Gọi $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n$ là các vectơ riêng tương ứng với nn trị riêng phân biệt của ma trận $A$ . Khi đó, tập $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}$ độc lập tuyến tính, theo định lý 2. Do đó, theo định lý 5, ma trận $A$ có thể đường chéo hóa.

Tuy nhiên, một ma trận $n\times n$ không nhất thiết phải có nn trị riêng phân biệt để có thể đường chéo hóa. Ví dụ, ma trận $3\times 3$ trong ví dụ 3 vẫn có thể đường chéo hóa mặc dù nó chỉ có hai trị riêng phân biệt.

Ví dụ 5: Xác định xem ma trận sau có thể đường chéo hóa hay không:

$A=\begin{bmatrix}5&-8&1\\0&0&7\\0&0&-2\\\end{bmatrix}$

Giải: Cách giải rất đơn giản! Vì ma trận này là ma trận tam giác, nên các trị riêng của nó chính là các phần tử trên đường chéo chính, cụ thể là 5, 0 và -2. Do $A$ là ma trận $3\times 3$ và có ba trị riêng phân biệt, nên theo định lý 6, ma trận $A$ có thể đường chéo hóa.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 7: Đường chéo hóa ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy