Bài giảng 10: Câu hỏi về Sự tồn tại và Tính duy nhất

Mặc dù một dạng bậc thang chưa rút gọn không phải là công cụ tốt để giải một hệ phương trình, nhưng dạng này lại là phương tiện thích hợp để trả lời hai câu hỏi cơ bản đã được đặt ra trong bài trước.

Ví dụ: Xác định sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned}3x_2-6x_3+6x_4+4x_5&=-5\\3x_1-7x_2+8x_3-5x_4+8x_5&=9\\3x_1-9x_2+12x_3-9x_4+6x_5&=15\end{aligned}$

Giải: Ma trận mở rộng của hệ phương trình này được biến đổi theo hàng thành

(8) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}3&-9&-12&-9&6&15\\0&2&-4&4&2&-6\\0&0&0&0&1&4\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Các biến cơ bản là $x_{1},\,x_{2}$ và $x_{5}$ ; các biến tự do là $x_{3}$ và $x_{4}$ . Không có phương trình nào có dạng 0=1, điều này có nghĩa là hệ phương trình không mâu thuẫn, nên ta có thể sử dụng phương pháp thế ngược để tìm nghiệm. Tuy nhiên, sự tồn tại của nghiệm đã rõ ràng trong (8).

Ngoài ra, nghiệm không duy nhất vì có các biến tự do. Mỗi giá trị khác nhau của $x_{3}$ và $x_{4}$ sẽ cho một nghiệm khác nhau. Do đó, hệ phương trình có vô số nghiệm.

Khi một hệ phương trình ở dạng bậc thang và không chứa phương trình nào có dạng 0=b với b≠0, thì mỗi phương trình không bằng 0 sẽ chứa một biến cơ bản với hệ số khác 0. Khi đó:

Nếu tất cả các biến cơ bản đều xác định hoàn toàn (không có biến tự do), hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu ít nhất một biến cơ bản có thể biểu diễn theo một hoặc nhiều biến tự do, hệ có vô số nghiệm (tương ứng với mỗi giá trị của các biến tự do).

Những nhận xét này dẫn đến định lý sau đây.

Định lý 2: Định lý về Sự tồn tại và Duy nhất

Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi cột ngoài cùng bên phải của ma trận mở rộng không phải là một cột trụ, tức là một dạng bậc thang của ma trận mở rộng không có hàng nào có dạng:

$\begin{bmatrix}0\quad\cdots\quad 0\;b\end{bmatrix}$ với b≠0

Nếu một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, tập nghiệm của nó sẽ gồm:

(i) Một nghiệm duy nhất khi không có biến tự do.

(ii) Vô số nghiệm khi có ít nhất một biến tự do.

Quy trình sau đây phác thảo cách tìm và mô tả tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính.

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI HÀNG ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình.
Sử dụng thuật toán biến đổi hàng để thu được một ma trận mở rộng tương đương ở dạng bậc thang. Xác định xem hệ có nghiệm hay không. Nếu không có nghiệm, dừng lại; nếu có nghiệm, chuyển sang bước tiếp theo.
Tiếp tục biến đổi hàng để thu được dạng bậc thang rút gọn.
Viết lại hệ phương trình tương ứng với ma trận thu được ở bước 3.
Viết lại mỗi phương trình không bằng 0 từ bước 4 sao cho một biến cơ bản được biểu diễn theo các biến tự do có mặt trong phương trình.

Câu trả lời hợp lý

Nhớ rằng mỗi ma trận mở rộng tương ứng với một hệ phương trình. Nếu bạn biến đổi ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}1&-2&1&2\\1&-1&2&5\\0&1&1&3\\\end{bmatrix}$ để thu được ma trận $\begin{bmatrix}1&0&3&8\\0&1&1&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$ , tập nghiệm là

$\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}x_1&=8-3x_3\\x_2&=3-x_3\\x_3&\;\text{is free}\\\end{aligned}\end{matrix}\right.$

Hệ phương trình tương ứng với ma trận mở rộng ban đầu là

$\begin{aligned}x_1-2x_2+x_3&=2\\x_1-x_2+2x_3&=5\\x_2+x_3&=3\\\end{aligned}$

Bạn có thể kiểm tra xem nghiệm của mình có đúng không bằng cách thay nó vào các phương trình ban đầu. Lưu ý rằng bạn có thể để các biến tự do trong nghiệm.

$\begin{aligned}(8-3x_3)-2(3-x_3)+(x_3)&=8-3x_3-6+2x_3+x_3&=2\\(8-3x_3)-(3-x_3)+2(x_3)&=8-3x_3-3+x_3+2x_3&=5\\(3-x_3)+(x_3)&=3-x_3+x_3&=3\\\end{aligned}$

Bạn có thể tự tin rằng mình đã tìm được nghiệm đúng cho hệ phương trình được biểu diễn bởi ma trận mở rộng.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 10: Câu hỏi về Sự tồn tại và Tính duy nhất

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy