Bài giảng 16: Tồn tại của nghiệm

Định nghĩa của Ax dẫn trực tiếp đến kết luận quan trọng sau:

Phương trình Ax = b có nghiệm nếu và chỉ nếu b là một tổ hợp tuyến tính của các cột của A.

Trong bài trước, ta đã xem xét câu hỏi: “Liệu b có thuộc Span $\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\}$ hay không?” Tương đương với câu hỏi: “Liệu phương trình Ax=b có thể giải được hay không?” Một vấn đề phức tạp hơn là xác định xem phương trình Ax=bAx = b có thể giải được với mọi giá trị của b hay không.

Ví dụ: Cho $A=\begin{bmatrix}1&3&4\\-4&2&-6\\-3&-2&-7\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}$ . Liệu phương trình Ax = b có nghiệm với mọi giá trị của $b_1,b_2,b_3$ không?

Giải: Ta thực hiện phép biến đổi hàng trên ma trận mở rộng của Ax = b.

$\begin{bmatrix}1&3&4&b_{1}\\-4&2&-6&b_{2}\\-3&-2&-7&b_{3}\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&3&4&b_{1}\\0&14&10&b_{2}+4b_{1}\\0&0&0&b_{3}+3b_{1}\\\end{bmatrix}$

$\sim\begin{bmatrix}1&3&4&b_{1}\\0&14&10&b_{2}+4b_{1}\\0&0&0&b_{3}+3b_{1}-\frac{1}{2}(b_{2}+4b_{1})\\\end{bmatrix}$

Sau khi đưa về dạng bậc thang, phần tử thứ ba trong cột thứ tư có giá trị $b_1-\frac{1}{2}b_2+b_3.$ . Điều này cho thấy phương trình Ax = b không có nghiệm với mọi b, vì có thể tồn tại những giá trị của b khiến $b_1-\frac{1}{2}b_2+b_3\neq 0$ .

Ma trận bậc thang trong Ví dụ 3 cung cấp điều kiện chính xác để phương trình Ax = b có nghiệm: Các thành phần của b phải thỏa mãn điều kiện $b_1-\frac{1}{2}b_2+b_3=0$ .

Tập nghiệm này xác định một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong $\mathbb{R}^3$ .
Mặt phẳng này chính là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba cột của A (xem Hình 1).

Hình 1: *Các cột của $A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{a_{3}}\\\end{bmatrix}$ tạo thành một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.*

Hình 1: *Các cột của $A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{a_{3}}\\\end{bmatrix}$ tạo thành một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.*

Phương trình Ax = b trong ví dụ 3 không có nghiệm với mọi b vì dạng bậc thang của A có một hàng toàn 0. Nếu A có một vị trí pivot trong tất cả các hàng, thì ta không cần quan tâm đến cột bổ sung trong ma trận mở rộng, vì khi đó, ma trận bậc thang sẽ không thể chứa một hàng dạng $\begin{bmatrix}0&0&0&1\\\end{bmatrix}$ .

Trong định lý tiếp theo, câu “Các cột của $\mathbf{A}$ tạo thành không gian bao phủ $\mathbb{R}^m$ ” có nghĩa là mọi vector $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^m$ đều có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các cột của $\mathbf{A}$ . Nói chung, một tập hợp các vector $\begin{Bmatrix}\mathbf{v}_{1},...,\mathbf{v}_{p}\end{Bmatrix}$ trong $\mathbb{R}^m$ tạo thành (hoặc sinh ra) $\mathbb{R}^m$ nếu mọi vector trong $\mathbb{R}^m$ đều là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_{1},...,\mathbf{v}_{p}$ tức là nếu Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1},...,v_{p}}\end{Bmatrix}=\mathbb{R}^m$ .

Định lý 4

Cho A là một ma trận m×n. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương, tức là đối với một ma trận A cụ thể, hoặc tất cả đều đúng, hoặc tất cả đều sai:
a.	Với mọi b trong , phương trình Ax = b có nghiệm.
b.	Mỗi b trong  là một tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
c.	Các cột của A phủ toàn bộ .
d.	A có một vị trí pivot trong mỗi hàng.

Định lý 4 là một trong những định lý quan trọng nhất trong phần này.
Các phát biểu (a), (b), và (c) là tương đương vì chúng dựa trên định nghĩa của Ax và khái niệm phủ $\mathbb{R}^m$ của một tập hợp vectơ.

Phân tích sau ví dụ trên cho thấy lý do tại sao (a) và (d) là tương đương; một chứng minh chi tiết sẽ được trình bày ở bài tiếp theo.

Lưu ý: Định lý 4 áp dụng cho ma trận hệ số, không áp dụng cho ma trận mở rộng.
Nếu một ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ có một vị trí pivot trong mỗi hàng, thì phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có thể có hoặc không có nghiệm.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 16: Tồn tại của nghiệm

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy