Bài giảng 15: Phương trình Ma trận Ax=b

Kiến thức Toán về Ma trận > (Phần 1)Phương trình tuyến tính trong đại số tuyến tính > Bài giảng 15: Phương trình Ma trận Ax=b

Lesson Attachments

[related_posts_by_tax title=""]

Một ý tưởng nền tảng trong đại số tuyến tính là xem một tổ hợp tuyến tính của các vectơ như là tích của một ma trận và một vectơ. Định nghĩa sau đây cho phép chúng ta diễn đạt lại một số khái niệm của ở bài trước theo những cách mới.

Định nghĩa

Nếu A là một ma trận m\times n, với các cột a_1,a_2,\dots,a_n, và nếu x thuộc \mathbb{R}^n, thì tích của A và x, ký hiệu là Ax, chính là tổ hợp tuyến tính của các cột của A, sử dụng các phần tử tương ứng trong x làm hệ số; tức là:
Ax=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_{1}&\mathbf{a}_{2}&\cdots&\mathbf{a}_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}=x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}_{2}+\cdots+x_{n}\mathbf{a}_{n}

Lưu ý rằng Ax chỉ được xác định khi số cột của A bằng với số phần tử trong x.

Ví dụ 1:

a) \begin{bmatrix}1&2&-\\0&-5&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\3\\7\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\\-5\end{bmatrix}+7\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\\-15\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-7\\21\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}

b) \begin{bmatrix}2&-3\\8&0\\-5&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}2\\8\\-5\end{bmatrix}+7\begin{bmatrix}-3\\0\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\3\\-20\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-21\\0\\14\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-13\\32\\-6\end{bmatrix}

Ví dụ 2: Cho \mathbf{v_{1},v_{2},v_{3}} thuộc \mathbb{R}^m, hãy viết tổ hợp tuyến tính 3\mathbf{v}_{1}-5\mathbf{v}_{2}+7\mathbf{v}_{3} dưới dạng tích của một ma trận với một vectơ.

Giải: Đặt \mathbf{v_{1},v_{2},v_{3}} vào các cột của một ma trận A và đặt các hệ số 3, -5, 7 vào một vectơ x. Khi đó:

3\mathbf{v_{1}}-5\mathbf{v_{2}}+7\mathbf{v_{3}}=\begin{bmatrix}\mathbf{v_{1}}&\mathbf{v_{2}}&\mathbf{v_{3}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-5\\7\end{bmatrix}=Ax

Bài trước ta đã chỉ ra cách viết một hệ phương trình tuyến tính dưới dạng một phương trình vectơ liên quan đến một tổ hợp tuyến tính của các vectơ. Ví dụ, hệ phương trình

(1)   \begin{equation*}\begin{matrix}x_{1}+2x_{2}-x_{3}&=4\\\quad-5x_{2}+3x_{3}&=1\\\end{matrix}\end{equation*}

tương đương với

(2)   \begin{equation*}\begin{matrix}x_{1}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}\\\end{matrix}\end{equation*}

Như trong Ví dụ 2, tổ hợp tuyến tính ở vế trái chính là tích của một ma trận với một vectơ, do đó phương trình trên có thể viết lại dưới dạng:

(3)   \begin{equation*}\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-5&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}\end{equation*}

Phương trình (3) có dạng Ax = b. Phương trình như vậy được gọi là phương trình ma trận, để phân biệt với một phương trình vectơ như trong (2).

Lưu ý rằng ma trận trong phương trình trên chính là ma trận hệ số của hệ phương trình ban đầu. Các phép biến đổi tương tự cho thấy rằng bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, hoặc bất kỳ phương trình vectơ nào như phương trình trên, đều có thể được viết lại dưới dạng một phương trình ma trận có dạng 𝐴𝑥=𝑏. Quan sát đơn giản này sẽ được sử dụng nhiều lần trong suốt tài liệu này.

Lưu ý rằng ma trận trong (3) chính là ma trận hệ số của hệ phương trình (1). Các phép biến đổi tương tự cho thấy rằng bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, hoặc bất kỳ phương trình vectơ nào như (2), đều có thể được viết lại dưới dạng một phương trình ma trận tương đương có dạng ( Ax = b ). 

Định lý 3

Nếu A là một ma trận m\times n, với các cột a_1,a_2,\dots,a_n, và nếu b thuộc \mathbb{R}^m, thì phương trình ma trận
 (4)    \begin{equation*}\mathbf{Ax=b}\end{equation*}

có cùng tập nghiệm với phương trình vectơ
 (5)    \begin{equation*}x_{1}\mathbf{a_{1}}+x_{2}\mathbf{a_{2}}+\cdots+x_{n}\mathbf{a_{n}}=\mathbf{b}\end{equation*}

Và tập nghiệm này cũng giống với tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng
 (6)    \begin{equation*}\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\cdots&\mathbf{a_{n}}&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}\end{equation*}

Định lý 3 cung cấp một công cụ mạnh mẽ để hiểu sâu hơn về các bài toán trong đại số tuyến tính, vì một hệ phương trình tuyến tính giờ đây có thể được xem xét theo ba cách khác nhau nhưng tương đương: dưới dạng một phương trình ma trận, một phương trình vectơ, hoặc một hệ phương trình tuyến tính.

Bất cứ khi nào bạn xây dựng một mô hình toán học cho một vấn đề thực tế, bạn có thể tự do lựa chọn quan điểm nào phù hợp nhất. Sau đó, bạn có thể chuyển đổi giữa các cách biểu diễn này khi cần thiết. Dù sao đi nữa, phương trình ma trận Ax = b, phương trình vectơ tương ứng, và hệ phương trình tuyến tính đều được giải theo cùng một cách – bằng cách rút gọn hàng trên ma trận mở rộng. Các phương pháp giải khác sẽ được thảo luận ở các bài giảng tiếp theo.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Hotline: 039.2266.928
Khóa học Toefl
Phone now