Bài giảng 29: Mô hình tuyến tính trong Kinh doanh, Khoa học và Kỹ thuật

Các mô hình toán học trong phần này đều là tuyến tính; tức là, mỗi mô hình mô tả một vấn đề thông qua một phương trình tuyến tính, thường ở dạng vectơ hoặc ma trận. Mô hình đầu tiên liên quan đến dinh dưỡng nhưng thực chất đại diện cho một kỹ thuật chung trong các bài toán lập trình tuyến tính. Mô hình thứ hai xuất phát từ kỹ thuật điện. Mô hình thứ ba giới thiệu khái niệm phương trình sai phân tuyến tính, một công cụ toán học mạnh mẽ để nghiên cứu các quá trình động trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, sinh thái học, kinh tế, viễn thông và quản lý khoa học.

Mô hình tuyến tính quan trọng vì các hiện tượng tự nhiên thường có tính tuyến tính hoặc gần tuyến tính khi các biến liên quan được giới hạn trong một phạm vi hợp lý. Ngoài ra, mô hình tuyến tính dễ dàng thích ứng với tính toán trên máy tính hơn so với các mô hình phi tuyến phức tạp.

Khi tìm hiểu từng mô hình, hãy chú ý đến cách tính chất tuyến tính phản ánh một đặc điểm nào đó của hệ thống đang được mô phỏng.

Xây dựng chế độ ăn giảm cân đầy đủ dinh dưỡng

Công thức của Cambridge Diet, một chế độ ăn phổ biến vào những năm 1980, dựa trên nhiều năm nghiên cứu. Một nhóm các nhà khoa học do Tiến sĩ Alan H. Howard dẫn đầu tại Đại học Cambridge đã phát triển chế độ ăn này sau hơn tám năm nghiên cứu lâm sàng với bệnh nhân béo phì.

Chế độ ăn này sử dụng bột dinh dưỡng rất ít calo, kết hợp một tỷ lệ chính xác giữa carbohydrate, protein chất lượng cao và chất béo, cùng với các vitamin, khoáng chất, nguyên tố vi lượng và điện giải. Hàng triệu người đã sử dụng chế độ ăn này để giảm cân nhanh chóng và đáng kể.

Để đạt được lượng và tỷ lệ dinh dưỡng mong muốn, Tiến sĩ Howard đã phải kết hợp nhiều loại thực phẩm khác nhau trong chế độ ăn. Mỗi loại thực phẩm cung cấp một số thành phần cần thiết nhưng không theo đúng tỷ lệ mong muốn.

Ví dụ:

• Sữa tách béo là một nguồn cung cấp protein chính nhưng chứa quá nhiều canxi.
• Vì vậy, bột đậu nành được sử dụng để bổ sung protein, vì nó chứa ít canxi.
• Tuy nhiên, bột đậu nành lại chứa quá nhiều chất béo, nên váng sữa được thêm vào vì nó có tỷ lệ chất béo thấp hơn so với canxi.
• Nhưng váng sữa lại có quá nhiều carbohydrate, v.v.

Ví dụ sau đây minh họa vấn đề trên quy mô nhỏ. Bảng 1 liệt kê ba thành phần trong chế độ ăn này, cùng với lượng dinh dưỡng nhất định được cung cấp bởi mỗi 100 gram (g) của từng thành phần.

BẢNG 1: Chế độ ăn kiêng Cambridge

Ví dụ 1: Nếu có thể, hãy tìm một tổ hợp của sữa không béo, bột đậu nành và whey để cung cấp chính xác lượng protein, carbohydrate và chất béo được cung cấp bởi chế độ ăn trong một ngày (Bảng 1).

Giải: Gọi  lần lượt là số đơn vị (100 g) của các loại thực phẩm này. Một cách tiếp cận vấn đề là lập các phương trình riêng cho từng chất dinh dưỡng. Ví dụ

{ số gam protein trong sữa không béo} {số gam protein trong sữa không béo}

cho biết lượng protein được cung cấp bởi đơn vị sữa không béo. Sau đó, ta cộng thêm lượng protein từ bột đậu nành và whey, rồi đặt tổng này bằng lượng protein cần thiết. Các tính toán tương tự được thực hiện cho carbohydrate và chất béo.

Một phương pháp hiệu quả hơn và dễ hình dung hơn là sử dụng một vector chất dinh dưỡng cho từng loại thực phẩm và xây dựng chỉ một phương trình vector. Lượng dinh dưỡng được cung cấp bởi đơn vị sữa không béo có thể được biểu diễn dưới dạng nhân vô hướng:

{ số gam protein trong sữa không béo} {số gam protein trong sữa không béo}

(1)  

trong đó là cột đầu tiên trong Bảng 1. Tương tự, đặt và là các vector tương ứng cho bột đậu nành và whey, còn là vector biểu diễn tổng nhu cầu dinh dưỡng (cột cuối cùng của bảng). Khi đó, lượng dinh dưỡng do bột đậu nành và váng sữa cung cấp lần lượt là: và . Do đó, phương trình tổng quát là:

(2)  

Biến đổi hàng của ma trận mở rộng cho hệ phương trình tương ứng cho thấy:

(giá trị làm tròn đến ba chữ số có nghĩa). Điều này có nghĩa là chế độ ăn yêu cầu 0.277 đơn vị sữa không béo, 0.392 đơn vị bột đậu nành và 0.233 đơn vị whey để cung cấp đúng lượng protein, carbohydrate và chất béo mong muốn.

Điều quan trọng là các giá trị , và đều không âm. Đây là điều kiện cần để nghiệm có ý nghĩa trong thực tế (chẳng hạn, không thể sử dụng −0.233-0.233 đơn vị whey). Khi số lượng chất dinh dưỡng cần thiết tăng lên, có thể phải sử dụng nhiều loại thực phẩm hơn để đảm bảo hệ phương trình có nghiệm không âm.

Trên thực tế, nhà sản xuất chế độ ăn Cambridge đã có thể cung cấp 31 chất dinh dưỡng với lượng chính xác bằng cách sử dụng chỉ 33 thành phần thực phẩm.

Bài toán xây dựng chế độ ăn dẫn đến phương trình tuyến tính vì lượng dinh dưỡng được cung cấp bởi mỗi thực phẩm có thể viết dưới dạng một bội vô hướng của một vector, như trong phương trình (1). Nghĩa là, lượng dinh dưỡng của một thực phẩm tỷ lệ thuận với khối lượng thực phẩm được thêm vào hỗn hợp chế độ ăn. Ngoài ra, mỗi chất dinh dưỡng trong hỗn hợp là tổng lượng chất dinh dưỡng từ các thực phẩm khác nhau.