Bài giảng 23: Độc lập tuyến tính (tiếp theo)

Tập Hợp Một hoặc Hai Véc-tơ

Một tập hợp chỉ chứa một véc-tơ – gọi là v – sẽ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu $\mathbf{v}$ không phải là véc-tơ không. Điều này là do phương trình véc-tơ $x_1\mathbf{v}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường khi $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ . Ngược lại, véc-tơ không phụ thuộc tuyến tính vì phương trình $x_1\mathbf{0}=\mathbf{0}$ có vô số nghiệm không tầm thường.

Ví dụ tiếp theo sẽ giải thích bản chất của một tập hợp gồm hai véc-tơ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3: Xác định xem các tập hợp véc-tơ sau có độc lập tuyến tính hay không.

$\begin{matrix}a)\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix},\:\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix}&\qquad b)\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},\:\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Giải:

a) Chú ý rằng $\mathbf{v_{2}}$ là một bội số của $\mathbf{v_{1}}$ , cụ thể $\mathbf{v_{2}}=2\mathbf{v_{1}}$ . Do đó, $-2\mathbf{v_{1}}+\mathbf{v_{2}}=0$ , điều này cho thấy tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính.

b) Hai véc-tơ $\mathbf{v_{1}}$ và $\mathbf{v_{2}}$ rõ ràng không phải là bội số của nhau. Chúng có thể phụ thuộc tuyến tính không? Giả sử tồn tại $c$ và $d$ sao cho:

$c\mathbf{v_{1}}+d\mathbf{v_{2}}=\mathbf{0}$

Nếu $c\neq 0$ , ta có thể biểu diễn $\mathbf{v_{1}}$ theo $\mathbf{v_{2}}$ , tức là $\mathbf{v_{1}}=(-d/c)\mathbf{v_{2}}$ . Điều này là bất khả thi vì $\mathbf{v_{1}}$ không phải là bội số của $\mathbf{v_{2}}$ . Vậy $c$ phải bằng $0$ . Tương tự, $d$ cũng phải bằng $0$ . Do đó, tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\end{Bmatrix}$ độc lập tuyến tính.

Lập luận trong ví dụ 3 cho thấy rằng ta có thể xác định nhanh chóng liệu một tập hợp hai véc-tơ có phụ thuộc tuyến tính hay không bằng cách kiểm tra xem một véc-tơ có phải là bội số của véc-tơ còn lại hay không. Không cần thực hiện phép biến đổi hàng.

Một tập hợp hai véc-tơ  là phụ thuộc tuyến tính nếu một trong hai véc-tơ là bội số của véc-tơ còn lại. Tập hợp độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không véc-tơ nào là bội số của véc-tơ kia.

Về mặt hình học, hai véc-tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hình 1 minh họa các véc-tơ trong ví dụ 3.

Hình 1

Tập Hợp Hai hoặc Nhiều Véc-tơ

Chứng minh cho định lý sau đây tương tự với lời giải trong ví dụ 3.

Định Lý 7: Đặc trưng của Tập Hợp Phụ Thuộc Tuyến Tính

Một tập hợp chỉ số  gồm hai hoặc nhiều véc-tơ là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu ít nhất một véc-tơ trong S là tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ còn lại. Thực tế, nếu S phụ thuộc tuyến tính và , thì tồn tại một véc-tơ  (với j > 1) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ trước nó, tức là  là tổ hợp tuyến tính của .

❗Lưu ý: Định lý 7 không khẳng định rằng mọi véc-tơ trong một tập hợp phụ thuộc tuyến tính đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ trước đó. Một véc-tơ trong tập hợp có thể không phải là tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ còn lại.

Ví dụ 4: Cho $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\6\\0\end{bmatrix}$ . Mô tả tập hợp được sinh bởi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ , và giải thích tại sao một véc-tơ $\mathbf{w}$ thuộc $\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ khi và chỉ khi tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính.
Giải: Hai véc-tơ u và v độc lập tuyến tính, vì không véc-tơ nào là bội số của véc-tơ kia. Do đó, chúng sinh ra một mặt phẳng trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ . Thực tế, $\text{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là mặt phẳng $x_{1}x_{2}$ (với $x_{3}=0$ ).

Nếu $\mathbf{w}$ là tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ , thì theo Định lý 7, tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ là phụ thuộc tuyến tính. Ngược lại, nếu tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính, thì theo Định lý 7, một trong ba véc-tơ u, v, w phải là tổ hợp tuyến tính của hai véc-tơ còn lại. Vì $\mathbf{v}$ không phải là bội số của $\mathbf{u}$ , véc-tơ đó phải là $\mathbf{w}$ . Như vậy, $\mathbf{w}$ thuộc Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ . Xem hình 2.

Phụ thuộc tuyến tính, $\mathbf{w}$ thuộc Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v}\end{Bmatrix}$

Độc lập tuyến tính, $\mathbf{w}$ không thuộc Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v}\end{Bmatrix}$

Hình 2: Phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{R}^{3}$ .

Ví dụ 4 được tổng quát hóa cho bất kỳ tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ trong $\mathbb{R}^{3}$ với $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ độc lập tuyến tính. Tập hợp $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\end{Bmatrix}$ sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu $\mathbf{w}$ nằm trong mặt phẳng do $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ sinh ra.

Hai định lý tiếp theo mô tả các trường hợp đặc biệt trong đó sự phụ thuộc tuyến tính của một tập hợp là hiển nhiên.

Định Lý 8
Nếu một tập hợp chứa nhiều véc-tơ hơn số phần tử trong mỗi véc-tơ, thì tập hợp đó phụ thuộc tuyến tính.
Nói cách khác, bất kỳ tập hợp  trong  đều phụ thuộc tuyến tính nếu p > n.

Chứng minh: Xét ma trận $A=\begin{bmatrix}\mathbf{v_{1}}&\cdots&\mathbf{v_{p}}\\\end{bmatrix}$ có kích thước $n\times p$ .

Hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có $n$ phương trình nhưng $p$ ẩn số. Nếu $p>n$ , thì số ẩn số nhiều hơn số phương trình, nên hệ có ẩn tự do, dẫn đến nghiệm không tầm thường. Do đó, các cột của A phụ thuộc tuyến tính.

Xem Hình 3 để xem phiên bản ma trận của định lý này.

Hình 3: Nếu $p>n$ , các cột sẽ phụ thuộc tuyến tính.

Lưu ý: Định lý 8 không đề cập đến trường hợp số lượng véc-tơ trong tập hợp không vượt quá số phần tử trong mỗi véc-tơ.

Ví dụ 5: Tập hợp véc-tơ $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính theo Định lý 8, vì có ba véc-tơ nhưng mỗi véc-tơ chỉ có hai phần tử. Lưu ý rằng không véc-tơ nào là bội số của véc-tơ khác, nhưng tập hợp vẫn phụ thuộc tuyến tính.

Xem hình 4

Hình 4: Một tập hợp tuyến tính trong $\mathbb{R}^{2}$

Định Lý 9

Nếu một tập hợp  trong  chứa véc-tơ không, thì S phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh: Đánh số lại các vectơ, ta giả sử $\mathbf{v_{1}}=\mathbf{0}$ . Khi đó phương trình $1\mathbf{v_{1}}+0\mathbf{v_{2}}+\cdots+0\mathbf{v_{p}}=\mathbf{0}$ cho thấy tập hợp $S$ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 6:

a) Tập hợp chứa bốn véc-tơ, mỗi véc-tơ chỉ có ba phần tử. Do đó, tập hợp này phụ thuộc tuyến tính theo Định lý 8.

b) Định lý 8 không áp dụng trong trường hợp này vì số lượng véc-tơ không vượt quá số phần tử trong mỗi véc-tơ. Tuy nhiên, vì tập hợp chứa véc-tơ không, nên nó phụ thuộc tuyến tính theo Định lý 9.

c) So sánh các phần tử tương ứng của hai véc-tơ. Véc-tơ thứ hai dường như là -3/2 lần véc-tơ thứ nhất. Mối quan hệ này đúng với ba cặp phần tử đầu tiên nhưng không đúng với cặp phần tử thứ tư. Do đó, không véc-tơ nào là bội số của véc-tơ kia, và vì vậy chúng độc lập tuyến tính.

Nhìn chung, bạn nên đọc kỹ một phần nhiều lần để nắm vững một khái niệm quan trọng như độc lập tuyến tính. Các ghi chú trong “Hướng Dẫn Học Tập” cho phần này sẽ giúp bạn hình dung các ý tưởng quan trọng trong đại số tuyến tính.

Ví dụ, chứng minh sau đây rất đáng để đọc kỹ vì nó cho thấy cách sử dụng định nghĩa độc lập tuyến tính.

Chứng Minh Định Lý 7 (Đặc trưng của Tập Hợp Phụ Thuộc Tuyến Tính)

Nếu một véc-tơ $\mathbf{v_{j}}$ trong tập hợp $S$ là tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ còn lại, thì ta có thể trừ $\mathbf{v_{j}}$ từ cả hai vế của phương trình, tạo ra một quan hệ phụ thuộc tuyến tính với hệ số khác 0 $(-1)$ trên $\mathbf{v_{j}}$ .

Ví dụ: Nếu $\mathbf{v_{1}}=c_{2}\mathbf{v_{2}}+c_{3}\mathbf{v_{3}}$ , thì $\mathbf{0}=(-1)\mathbf{v_{1}}+c_{2}\mathbf{v_{2}}+c_{3}\mathbf{v_{3}}+0\mathbf{v_{4}}+\cdots+0\mathbf{v_{p}}$ . Điều này chứng minh rằng $S$ phụ thuộc tuyến tính.

Ngược lại, giả sử $S$ phụ thuộc tuyến tính. Nếu $\mathbf{v_{1}}=0$ , thì nó là một tổ hợp tuyến tính (tầm thường) của các véc-tơ còn lại trong $S$ . Nếu $\mathbf{v_{1}}\neq 0$ , thì tồn tại các hệ số ${c_{1}},...,{c_{p}}$ , không phải tất cả đều bằng 0, sao cho:

${c_{1}}\mathbf{v_{1}}+{c_{2}}\mathbf{v_{2}}+\cdots+{c_{p}}\mathbf{v_{p}}=\mathbf{0}$

Gọi j là chỉ số lớn nhất sao cho ${c_{j}}\neq 0$ .

Nếu $j=1$ , thì phương trình trở thành $c_{1}\mathbf{v_{1}}=\mathbf{0}$ , điều này không thể xảy ra vì $\mathbf{v_{1}}\neq\mathbf{0}$ . Vậy $j>1$ , và ta có