Bài giảng 30: Mô hình tuyến tính trong Kinh doanh, Khoa học và Kỹ thuật (tiếp theo)

Bài toán xây dựng chế độ ăn cho con người và gia súc xuất hiện thường xuyên và thường được giải quyết bằng các kỹ thuật lập trình tuyến tính. Phương pháp sử dụng phương trình vector của chúng ta giúp đơn giản hóa quá trình xây dựng mô hình cho các bài toán này.

Hệ phương trình tuyến tính và Mạng điện

Dòng điện trong một mạng điện đơn giản có thể được mô tả bằng một hệ phương trình tuyến tính. Một nguồn điện như pin sẽ ép dòng electron chạy qua mạng điện. Khi dòng điện đi qua một điện trở (chẳng hạn như bóng đèn hoặc động cơ), một phần hiệu điện thế sẽ bị “tiêu hao”; theo định luật Ohm, “độ sụt áp” qua một điện trở được tính theo công thức:

$V=RI$

trong đó $V$ là hiệu điện thế (đơn vị volt), $R$ là điện trở (đơn vị ohm, ký hiệu Ω\Omega), và $I$ là dòng điện (đơn vị ampe, viết tắt là A).

Mạng điện trong Hình 1 chứa ba vòng kín. Dòng điện chạy qua các vòng 1, 2, và 3 lần lượt được ký hiệu là $I_{1},\,I_{2}$ , và $I_{3}$ . Hướng dòng điện của các vòng này có thể được chọn một cách tùy ý. Nếu một dòng điện có giá trị âm, điều đó có nghĩa là hướng thực tế của nó ngược lại với hướng đã chọn trong hình. Nếu dòng điện chảy ra từ cực dương (cực dài hơn) của pin theo vòng tròn về cực âm (cực ngắn hơn), thì hiệu điện thế là dương; ngược lại, hiệu điện thế là âm.

Dòng điện trong một vòng tuân theo quy tắc sau:

Định luật điện áp Kirchhoff

Tổng đại số của các độ sụt áp IR theo một hướng quanh một vòng khép kín sẽ bằng tổng đại số của các nguồn điện trong cùng hướng đó.

Ví dụ 2: Xác định dòng điện vòng trong mạng điện ở Hình 1

Giải: Đối với vòng 1, dòng $I_{1}$ chạy qua ba điện trở, và tổng độ sụt áp $IR$ là

$4I_{1}+4I_{1}+3I_{1}=(4+4+3)I_{1}=11I_{1}$

Dòng điện từ vòng 2 cũng đi qua một phần của vòng 1, thông qua nhánh ngắn giữa $A$ và $A$ . Độ sụt áp liên quan ở đây là $3I_{2}$ volt. Tuy nhiên, hướng dòng điện trong nhánh $AB$ của vòng 1 ngược với hướng dòng điện trong vòng 2, nên tổng đại số của các độ sụt áp $RI$ cho vòng 1 là $11I_{1}-3I_{2}$ . Vì điện áp trong vòng 1 là +30 volt, định luật điện áp của Kirchhoff suy ra rằng:

$11I_{1}-3I_{2}=30$

Tương tự, phương trình cho vòng 2 là:

$-3I_{1}+6I_{2}-I_{3}=5$

Trong đó, $-3I_{1}$ xuất phát từ dòng điện $I_1$ chạy qua nhánh $AB$ (với độ sụt áp âm do dòng điện ngược chiều trong vòng 2). Thuật ngữ $6I_{2}$ là tổng điện trở trong vòng 2 nhân với dòng điện vòng 2. Thuật ngữ $-I_{3}$ xuất hiện do dòng $I_{3}$ chạy qua điện trở 1-ohm trong nhánh $CD$ , theo hướng ngược với vòng 2.

Phương trình cho vòng 3 là:

$-I_{2}+3I_{3}=-25$

Trong đó, pin 5V trong nhánh $CD$ được tính vào cả vòng 2 và vòng 3, nhưng có giá trị -5V trong vòng 3 do hướng dòng điện được chọn. Pin 20V cũng có giá trị âm vì lý do tương tự.

Hệ phương trình để tìm dòng điện vòng là

$\begin{equation}\begin{matrix}\begin{aligned}11I_{1}-3I_{2}\qquad&=30\\-3I_{1}+6I_{2}-I_{3}&=5\\\qquad I_{2}-I_{3}&=-25\\\end{aligned}\end{matrix}\tag{3}\end{matrix}$

Các phép biến đổi hàng trên ma trận mở rộng dẫn đến nghiệm: $I_1=3$ ampe, $I_2=1$ ampe, và $I_3=-8$ ampe. Giá trị âm của $I_3$ cho thấy rằng dòng điện thực tế trong vòng lặp 3 chạy theo hướng ngược lại so với hướng được hiển thị trong Hình 1.

Hệ phương trình (3) có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình vector:

Mục nhập đầu tiên của mỗi vectơ liên quan đến vòng lặp thứ nhất, và tương tự đối với mục nhập thứ hai và thứ ba. Vectơ điện trở đầu tiên $\mathbf{r}_1$ liệt kê các điện trở trong các vòng lặp khác nhau mà dòng điện $I_1$ chạy qua. Một điện trở được viết với giá trị âm khi $I_1$ chạy ngược hướng dòng điện trong một vòng lặp khác. Hãy xem Hình 1 và xác định cách tính các mục nhập trong $\mathbf{r}_1$ ; sau đó làm tương tự cho $\mathbf{r}_2$ và $\mathbf{r}_3$ . Dạng ma trận của phương trình (4)

$R\mathbf{i}=\mathbf{v}$ trong đó $R=\begin{bmatrix}\mathbf{r_{1}}&\mathbf{r_{2}}&\mathbf{r_{3}}\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{i}=\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}$

cung cấp một phiên bản ma trận của định luật Ohm. Nếu tất cả các dòng điện vòng lặp được chọn theo cùng một hướng (chẳng hạn, ngược chiều kim đồng hồ), thì tất cả các mục nhập ngoài đường chéo chính của $R$ sẽ có giá trị âm.

Phương trình ma trận $R\mathbf{i}=\mathbf{v}$ giúp dễ dàng nhận thấy tính tuyến tính của mô hình này một cách trực quan. Ví dụ, nếu vectơ điện áp tăng gấp đôi, thì vectơ dòng điện cũng phải tăng gấp đôi.

Ngoài ra, nguyên lý chồng chất cũng đúng. Nghĩa là, nghiệm của phương trình (4) là tổng của các nghiệm của các phương trình

$R\mathbf{i}=\begin{bmatrix}30\\0\\0\end{bmatrix},\qquad R\mathbf{i}=\begin{bmatrix}0\\5\\0\end{bmatrix},\qquad$ và $R\mathbf{i}=\begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}$

Mỗi phương trình ở đây tương ứng với mạch chỉ có một nguồn điện áp (các nguồn khác được thay thế bằng dây dẫn để đóng mỗi vòng lặp). Mô hình dòng điện trong mạch là tuyến tính chính xác vì định luật Ohm và định luật Kirchhoff đều là tuyến tính: Độ sụt áp trên một điện trở tỷ lệ thuận với dòng điện chạy qua nó (Ohm), và tổng độ sụt áp trong một vòng lặp bằng tổng các nguồn điện áp trong vòng lặp đó (Kirchhoff).

Dòng điện vòng trong mạng điện có thể được sử dụng để xác định dòng điện trong bất kỳ nhánh nào.

Nếu chỉ có một dòng điện vòng đi qua một nhánh, chẳng hạn như từ $B$ đến $D$ trong hình 1, thì dòng điện trong nhánh bằng với dòng điện vòng.

Nếu có nhiều hơn một dòng điện vòng đi qua một nhánh, chẳng hạn như từ $A$ đến $B$ , thì dòng điện trong nhánh là tổng đại số của các dòng điện vòng trong nhánh đó (định luật dòng điện Kirchhoff).

Ví dụ, dòng điện trong nhánh $AB$ là $I_1-I_2=3-1=2$ ampe, theo hướng của $I_1$ . Dòng điện trong nhánh $CD$ là $I_2-I_3=9$ ampe.

Hệ phương trình tuyến tính và Mạng điện

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 30: Mô hình tuyến tính trong Kinh doanh, Khoa học và Kỹ thuật (tiếp theo)

Lesson Attachments

Hệ phương trình tuyến tính và Mạng điện

Để lại một bình luận Hủy