Bài giảng 4: Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Phần này và phần tiếp theo mô tả một thuật toán, hay một quy trình có hệ thống, để giải các hệ phương trình tuyến tính. Chiến lược cơ bản là thay thế một hệ phương trình bằng một hệ phương trình tương đương (tức là hệ có cùng tập nghiệm) nhưng dễ giải hơn.

Nói một cách đơn giản, ta sử dụng hệ số $x_1$ trong phương trình đầu tiên để loại bỏ $x_1$ khỏi các phương trình khác. Sau đó, dùng $x_2$ trong phương trình thứ hai để loại bỏ $x_2$ khỏi các phương trình còn lại, và tiếp tục quá trình này cho đến khi đạt được một hệ phương trình đơn giản hơn.

Ba phép biến đổi cơ bản được sử dụng để đơn giản hóa hệ phương trình tuyến tính:

Thay thế (Replacement): Thay thế một phương trình bằng tổng của nó với một bội số của phương trình khác.
Hoán đổi (Interchange): Hoán đổi hai phương trình.
Nhân (Scaling): Nhân tất cả các số hạng trong một phương trình với một hằng số khác 0.

Sau ví dụ đầu tiên, bạn sẽ thấy tại sao ba phép toán này không làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (3)

LỜI GIẢI: Quy trình khử được trình bày dưới đây với và không có ký hiệu ma trận, và các kết quả được đặt cạnh nhau để so sánh:

$\begin{matrix}x_1-2x_2+x_3=0\\\qquad 2x_2-8x_3=8\\5x_1\quad-\quad5x_3=10\end{matrix}\qquad\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&2&-8&8\\5&0&-5&10\\\end{bmatrix}$

Giữ $x_1$ trong phương trình thứ nhất và loại bỏ nó khỏi các phương trình còn lại. Để làm điều này, cộng -5 lần phương trình 1 vào phương trình 3. Sau khi có kinh nghiệm, loại tính toán này thường được tính “nhẩm”:

$\begin{matrix}\begin{array}{r}\;-5.\begin{bmatrix}\text{equation 1}\end{bmatrix}\\+\begin{bmatrix}\text{equation 3}\end{bmatrix}\\\hline\;\begin{bmatrix}\text{new equation 3}\end{bmatrix}\\\end{array}&\quad\begin{array}{r}\;-5x_{1}+10x_{2}-5x_{3}=0\\5x_{1}\quad\qquad-5x_{3}=10\\\hline\;\qquad 10x_{2}-10x_{3}=10\\\end{array}\\\end{matrix}$

Kết quả của phép tính này được viết thay thế cho phương trình thứ ba ban đầu:

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\\qquad 2x_{2}-8x_{3}=8\\\qquad 10x_{2}-10x_{3}=10\end{matrix}&\qquad\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&2&-8&8\\0&10&-10&10\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Bây giờ, nhân phương trình thứ hai với $\frac{1}{2}$ để có hệ số $x_2$ bằng 1. (Phép tính này sẽ giúp đơn giản hóa các bước tiếp theo.)

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\\qquad x_{2}-4x_{3}=4\\\qquad 10x_{2}-10x_{3}=10\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-4&4\\0&10&-10&10\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Sử dụng $x_2$ trong phương trình 2 để loại bỏ $10x_2$ trong phương trình 3. Tính “nhẩm” là:

$\begin{matrix}\begin{array}{r}\;-10.[\text{equation 2}]\\[0.5mm]+[\text{equation 3}]\\[0.5mm]\hline\;[\text{new equation 3}]\\\end{array}&\qquad\begin{array}{r}\;-10x_{2}+40x_{3}=-40\\[0.5mm]10x_{2}-10x_{3}=10\\[0.5mm]\hline\;\quad+30x_{3}=-30\\\end{array}\\\end{matrix}$

Kết quả của phép tính này được viết thay thế cho phương trình thứ ba trước đó:

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\\qquad x_{2}-4x_{3}=4\\\qquad\qquad 30x_{3}=-30\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-4&4\\0&0&30&-30\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Bây giờ, nhân phương trình 3 với $\frac{1}{30}$ để có hệ số $x_3$ bằng 1.

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\\qquad x_{2}-4x_{3}=4\\\qquad\qquad x_{3}=-1\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-4&4\\0&0&1&-1\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Hệ phương trình mới có dạng tam giác (thuật ngữ trực giác “tam giác” sẽ được thay thế bằng một thuật ngữ chính xác trong phần tiếp theo):

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\\qquad x_{2}-4x_{3}=4\\\qquad\qquad x_{3}=-1\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-4&4\\0&0&1&-1\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Cuối cùng, bạn muốn loại bỏ số hạng $-2x_2$ trong phương trình 1, nhưng sẽ hiệu quả hơn nếu trước tiên sử dụng $x_3$ trong phương trình 3 để loại bỏ các số hạng $-4x_3$ và $+x_3$ trong phương trình 2 và 1. Hai phép tính “nhẩm” là:

$\begin{matrix}\begin{array}{r}\;4.[\text{equation 3}]\\[0.5mm]+[\text{equation 2}]\\[0.5mm]\hline\;[\text{new equation 2}]\\\end{array}&\begin{array}{r}\quad 4x_{3}=-4\\[0.5mm]x_{2}-4x_{3}=4\\[0.5mm]\hline\;x_{2}\;\:\:\qquad=0\\\end{array}\\\end{matrix}\qquad\begin{matrix}\begin{array}{r}\;-1.[\text{equation 3}]\\[0.5mm]+[\text{equation 1}]\\[0.5mm]\hline\;[\text{new equation 1}]\\\end{array}&\begin{array}{r}\quad-x_{3}=1\\[0.5mm]x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\[0.5mm]\hline\;x_{1}-2x_{2}\;\qquad=1\\\end{array}\\\end{matrix}$

Sẽ thuận tiện hơn khi kết hợp kết quả của hai phép toán này:

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}\qquad=0\\\qquad x_{2}\qquad=0\\\qquad\qquad x_{3}=-1\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Mỗi phương trình ban đầu xác định một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Điểm (1, 0, -1) nằm trên cả ba mặt phẳng.

Bây giờ, sau khi đã loại bỏ các phần tử trong cột phía trên $x_3$ ở phương trình 3, hãy quay lại $x_2$ trong phương trình 2 và sử dụng nó để loại bỏ $-2x_2$ phía trên. Do công việc trước đó với $x_3$ , bây giờ không còn phép toán nào liên quan đến các số hạng $x_3$ . Cộng 2 lần phương trình 2 vào phương trình 1 và thu được hệ phương trình:

$\begin{matrix}\begin{matrix}x_{1}\qquad\qquad=0\\\qquad x_{2}\qquad=0\\\qquad\qquad x_{3}=-1\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Công việc về cơ bản đã hoàn thành. Nó cho thấy rằng nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu là (1,0,−1)(1, 0, -1). Tuy nhiên, do có nhiều phép tính, nên việc kiểm tra lại kết quả là một thực hành tốt. Để xác minh rằng (1,0,−1)(1, 0, -1) là nghiệm, thay các giá trị này vào hệ phương trình ban đầu và tính toán:

$\begin{matrix}1(1)-2(0)+1(-1)&=1-0-1&=0\\\qquad-2(0)-8(-1)&=\qquad 0-1&=8\\5(1)\qquad\qquad-5(-1)&=5\qquad+5&=10\\\end{matrix}$

Kết quả phù hợp với vế phải của hệ phương trình ban đầu, do đó (1, 0, -1) là nghiệm của hệ.

Ví dụ 1 minh họa cách các phép toán trên phương trình trong một hệ phương trình tuyến tính tương ứng với các phép toán trên các hàng thích hợp của ma trận mở rộng. Ba phép toán cơ bản được liệt kê trước đó tương ứng với các phép toán sau trên ma trận mở rộng.

CÁC PHÉP TOÁN HÀNG CƠ BẢN

(Thay thế) Thay một hàng bằng tổng của chính nó và một bội số của một hàng khác.
(Hoán vị) Hoán đổi hai hàng.
(Tỉ lệ) Nhân tất cả các phần tử trong một hàng với một hằng số khác không.

Các phép toán hàng có thể được áp dụng cho bất kỳ ma trận nào, không chỉ giới hạn trong ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính. Hai ma trận được gọi là tương đương hàng nếu có một chuỗi các phép toán hàng cơ bản biến đổi ma trận này thành ma trận kia.

Điều quan trọng cần lưu ý là các phép toán hàng có thể đảo ngược. Nếu hai hàng được hoán đổi, chúng có thể được đưa về vị trí ban đầu bằng một phép hoán đổi khác. Nếu một hàng được nhân với một hằng số khác không cc, thì nhân hàng mới với ${1}/{c}$ sẽ khôi phục hàng ban đầu. Cuối cùng, xét một phép toán thay thế liên quan đến hai hàng (giả sử là hàng 1 và hàng 2) và giả sử rằng c lần hàng 1 được cộng vào hàng 2 để tạo ra một hàng 2 mới. Để “đảo ngược” phép toán này, cộng -c lần hàng 1 vào (hàng 2 mới) và thu được hàng 2 ban đầu.

Hiện tại, chúng ta quan tâm đến các phép toán hàng trên ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính. Giả sử một hệ phương trình được biến đổi thành một hệ phương trình mới thông qua các phép toán hàng. Khi xét từng loại phép toán hàng, có thể thấy rằng bất kỳ nghiệm nào của hệ phương trình ban đầu vẫn là nghiệm của hệ phương trình mới. Ngược lại, vì hệ phương trình ban đầu có thể được tạo ra từ hệ phương trình mới bằng cách thực hiện các phép toán hàng, nên mỗi nghiệm của hệ phương trình mới cũng là nghiệm của hệ phương trình ban đầu. Cuộc thảo luận này chứng minh cho phát biểu sau:

Nếu hai ma trận mở rộng của hai hệ phương trình tuyến tính tương đương hàng, thì hai hệ phương trình đó có cùng tập nghiệm.

CÁC PHÉP TOÁN HÀNG CƠ BẢN

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 4: Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Lesson Attachments

CÁC PHÉP TOÁN HÀNG CƠ BẢN

Để lại một bình luận Hủy