Bài giảng 13: Tổ hợp tuyến tính

Cho các vectơ $v_1,v_2,\dots,v_p$ trong $\mathbb{R}^n$ và các hệ số $c_1,c_2,\dots,c_p$ , vectơ y được định nghĩa bởi

$\mathbf{y}=c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_p\mathbf{v}_p$

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ với trọng số $c_1,\dots,c_p$ . Tính chất đại số (ii) ở bài trước cho phép chúng ta bỏ qua dấu ngoặc khi tạo ra một tổ hợp tuyến tính như vậy. Các trọng số trong một tổ hợp tuyến tính có thể là bất kỳ số thực nào, bao gồm cả số không. Ví dụ, một số tổ hợp tuyến tính của vectơ $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ là

$\sqrt{3}\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\quad\frac{1}{2}\mathbf{v}_1(=\frac{1}{2}\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2),\quad 0(=0\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2))$

Ví dụ: Hình 8 xác định một số tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ .

(Lưu ý rằng các tập hợp đường lưới song song được vẽ qua các bội số nguyên của v1v_1 và v2v_2). Hãy ước lượng các tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ tạo ra các vectơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{w}$ .

Hình 8: Tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{v}_{1}$ và $\mathbf{v}_{2}$ .

Giải: Quy tắc hình bình hành cho thấy rằng $\mathbf{u}$ là tổng của $3\mathbf{v}_{1}$ và $-2\mathbf{v}_{2}$ , tức là

$\mathbf{u}=3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}$

Biểu thức này có thể được hiểu là hướng dẫn di chuyển từ gốc tọa độ đến $\mathbf{u}$ theo hai đường thẳng. Đầu tiên, đi 3 đơn vị theo hướng của $\mathbf{v}_{1}$ đến $3\mathbf{v}_{1}$ , sau đó đi -2 đơn vị theo hướng của $\mathbf{v}_{2}$ (song song với đường thẳng đi qua $\mathbf{v}_{2}$ và 0).

Tiếp theo, mặc dù vectơ $\mathbf{w}$ không nằm trên một đường lưới, $\mathbf{w}$ dường như nằm ở khoảng giữa hai cặp đường lưới, tại đỉnh của một hình bình hành được xác định bởi $(5/2)\mathbf{v}_{1}$ và $(-1/2)\mathbf{v}_{2}$ . (Xem Hình 9). Do đó, một ước lượng hợp lý cho $\mathbf{w}$ là

$\mathbf{w}=\frac{5}{2}\mathbf{v}_1-\frac{1}{2}\mathbf{v}_2.$

Ví dụ 2: Cho $\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}1\\-2\\-5\end{bmatrix}$ , $\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}2\\5\\6\end{bmatrix}$ , và $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}7\\4\\-3\end{bmatrix}$ . Xác định xem $\mathbf{b}$ có thể được tạo ra (hoặc viết lại) như một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{a}_{1}$ và $\mathbf{a}_{2}$ hay không. Tức là, xác định xem có tồn tại các trọng số $x_1$ và $x_2$ sao cho

(1) $\begin{equation*}x_1\mathbf{a}_{1}+x_2\mathbf{a}_{2}=\mathbf{b}\end{equation*}$

Nếu phương trình vectơ (1) có nghiệm, hãy tìm nghiệm đó.

Giải: Sử dụng định nghĩa của phép nhân vô hướng và phép cộng vectơ để viết lại phương trình vectơ

điều này tương đương với hệ phương trình

$\begin{bmatrix}x_{1}\\-2x_{2}\\-5x_{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2x_{1}\\5x_{2}\\6x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\4\\-3\end{bmatrix}$

và

(2) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}x_{1}+2x_{1}\\-2x_{2}+5x_{2}\\-5x_{3}+6x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\4\\-3\end{bmatrix}\end{equation*}$

Các vector ở bên trái và bên phải của (2) bằng nhau nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng của chúng đều bằng nhau. Nghĩa là, $x_1$ và $x_2$ làm cho phương trình vector (1) đúng nếu và chỉ nếu $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn hệ phương trình.

(3) $\begin{equation*}\begin{matrix}\quad x_1+2x_2=&7\\-2x_1+5x_2=&4\\-5x_1+6x_2=&-3\end{matrix}\end{equation*}$

Để giải hệ này, chúng ta đưa ma trận bổ sung của hệ phương trình về dạng bậc thang. Kết quả thu được là

$\begin{bmatrix}1&2&7\\-2&5&4\\-5&6&-3\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&7\\0&9&18\\0&16&32\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&7\\0&1&2\\0&16&32\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&2\\0&0&0\\\end{bmatrix}$

Nghiệm của (3) là $x_1=3$ và $x_2=2$ . Do đó, $\mathbf{b}$ là một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{a_{1}}$ và $\mathbf{a_{2}}$ với các hệ số $x_1=3$ và $x_2=2$ . Nghĩa là,

$3\begin{bmatrix}1\\-2\\-5\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\5\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\4\\-3\end{bmatrix}$

Lưu ý trong Ví dụ 5 rằng các vectơ ban đầu $\mathbf{a_{1}}$ , $\mathbf{a_{2}}$ , và $\mathbf{b}$ chính là các cột của ma trận bổ sung mà chúng ta đã giảm bậc.

Chúng ta có thể viết lại ma trận này theo cách xác định rõ các cột của nó, cụ thể là

(4) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Dễ dàng thấy rằng có thể viết ma trận bổ sung này ngay lập tức từ phương trình vectơ (1), mà không cần thực hiện các bước trung gian như trong Ví dụ 2. Lấy các vectơ theo thứ tự xuất hiện trong (1) và đưa chúng vào các cột của ma trận như trong (4).

Từ phần thảo luận trên, ta có thể rút ra kết luận cơ bản sau:

Một phương trình vectơ

$x_{1}\mathbf{a_{1}}+x_{2}\mathbf{a_{2}}+\cdots+x_{2}\mathbf{a_{n}}=\mathbf{b}$
có cùng tập nghiệm với hệ phương trình tuyến tính có ma trận bổ sung

(5) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\cdots&\mathbf{a_{n}}&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Cụ thể, $\mathbf{b}$ có thể được tạo ra bởi một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{a_{1}},...,\mathbf{a_{n}}$ nếu và chỉ nếu tồn tại một nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính tương ứng với ma trận (5).

Một trong những ý tưởng quan trọng trong đại số tuyến tính là nghiên cứu tập hợp tất cả các vectơ có thể được tạo ra hoặc viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của một tập hợp cố định $\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{p}}\end{Bmatrix}$ .

Định nghĩa

Nếu  thuộc  thì tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của  được ký hiệu là  và được gọi là tập con của  được sinh ra (hoặc tạo ra) bởi . Nghĩa là,  là tập hợp tất cả các vector có thể được viết dưới dạng  với  là các số vô hướng.

Việc hỏi liệu một vectơ $\mathbf{b}$ có thuộc $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{p}}\end{Bmatrix}$ hay không tương đương với việc hỏi xem phương trình vectơ

$x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+\cdots+x_p\mathbf{v}_p=\mathbf{b}$

có nghiệm hay không, hoặc tương đương, hỏi xem hệ phương trình tuyến tính với ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\cdots&\mathbf{v}_p&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ có nghiệm hay không.

Lưu ý rằng $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{p}}\end{Bmatrix}$ chứa mọi bội số vô hướng của $\mathbf{v}_1$ , vì $c\mathbf{v}_1=c\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2+\cdots+0\mathbf{v}_p$ . Đặc biệt, vectơ 0 luôn thuộc $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{p}}\end{Bmatrix}$ .

Mô tả Hình học của $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ và $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$

Giả sử $\mathbf{v}$ là một vector khác không trong $\mathbb{R}^3$ . Khi đó, $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là tập hợp tất cả các bội vô hướng của $\mathbf{v}$ , tức là tập hợp các điểm trên đường thẳng trong $\mathbb{R}^3$ đi qua $\mathbf{v}$ và $\mathbf{0}$ . Xem Hình 10.

Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là các vector khác không trong $\mathbb{R}^3$ , với $\mathbf{v}$ không phải là bội số của $\mathbf{u}$ , thì $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là mặt phẳng trong $\mathbb{R}^3$ chứa $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ và $\mathbf{0}$ . Đặc biệt, $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ chứa đường thẳng trong $\mathbb{R}^3$ đi qua $\mathbf{u}$ và $\mathbf{0}$ , cũng như đường thẳng đi qua $\mathbf{v}$ và $\mathbf{0}$ . Xem Hình 11.

**Hình 10**: $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. **Hình 11**: $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

**Hình 10**: $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. **Hình 11**: $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ 3: Cho $\mathbf{a_{1}}=\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}$ , $\mathbf{a_{2}}=\begin{bmatrix}5\\-13\\-3\end{bmatrix}$ và $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}-3\\8\\1\end{bmatrix}$ . Khi đó, $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a_{1},a_{2}}\end{Bmatrix}$ là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ trong $\mathbb{R}^3$ . Hỏi $\mathbf{b}$ có nằm trong mặt phẳng đó không?

Giải: Phương trình $x_{1}\mathbf{a_{1}}+x_{2}\mathbf{a_{2}}=\mathbf{b}$ có nghiệm không?

Để trả lời câu hỏi này, thực hiện phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ :

$\begin{bmatrix}1&5&-3\\-2&-13&8\\3&-3&1\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&5&-3\\0&-3&2\\0&-18&10\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&5&-3\\0&-3&2\\0&0&-2\\\end{bmatrix}$

Phương trình thứ ba là $0=-2$ , điều này cho thấy hệ phương trình không có nghiệm. Do đó, phương trình vector $x_{1}\mathbf{a_{1}}+x_{2}\mathbf{a_{2}}=\mathbf{b}$ không có nghiệm, và vì thế $\mathbf{b}$ không nằm trong $\mathbf{Span}\begin{Bmatrix}\mathbf{a_{1},}\,\mathbf{a_{2}}\end{Bmatrix}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 13: Tổ hợp tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy