Bài giảng 21: Ứng dụng của Hệ phương trình Tuyến tính (tiếp theo)

Cân bằng Phương trình Hóa học

Phương trình hóa học mô tả lượng chất tiêu thụ và sản phẩm được tạo ra bởi các phản ứng hóa học. Ví dụ, khi khí propane cháy, propane $(C_3H_8)$ kết hợp với oxy $(O_2)$ để tạo ra carbon dioxide $(CO_2)$ và nước $(H_2O)$ , theo phương trình:

(4) $\begin{equation*}(x_{1})C_3H_8+(x_{2})O_2\to(x_{3})CO_2+(x_{4})H_2O\end{equation*}$

Để “cân bằng” phương trình này, nhà hóa học phải tìm các số nguyên $x_1,...,x_4$ sao cho tổng số nguyên tử cacbon (C), hydro (H) và oxy (O) ở vế trái bằng với số nguyên tử tương ứng ở vế phải (vì nguyên tử không bị phá hủy hoặc tạo ra trong phản ứng).

Một phương pháp hệ thống để cân bằng phương trình hóa học là thiết lập một phương trình vector mô tả số nguyên tử của mỗi loại nguyên tử trong phản ứng. Vì phương trình trên liên quan đến ba loại nguyên tử (C, H, O), ta tạo một vector trong $\mathbb{R}^3$ cho mỗi chất phản ứng và sản phẩm, liệt kê số “nguyên tử trên mỗi phân tử” như sau:

Để cân bằng phương trình (4), các hệ số $x_1,...,x_4$ phải thỏa mãn

$x_1\begin{bmatrix}3\\8\\0\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}=x_3\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}$

Để giải, hãy di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái (đổi dấu ở vectơ thứ ba và thứ tư):

$x_1\begin{bmatrix}3\\8\\0\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}-1\\0\\-2\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}0\\-2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

Phép khử hàng của ma trận mở rộng cho phương trình này dẫn đến nghiệm tổng quát.

$x_1=\frac{1}{4},\quad x_2=\frac{5}{4}x_4,\quad x_3=\frac{3}{4}x_4$ , (với $x_4,$ tự do)

vì các hệ số trong phương trình hóa học phải là số nguyên, chọn $x_4=4$ , khi đó $x_1=1,\,x_2=5$ và $x_3=3$ . Phương trình cân bằng là

$C_3H_8+5O_2\to3CO_2+4H_2O$

Phương trình cũng sẽ cân bằng nếu, ví dụ, mỗi hệ số được nhân đôi. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các nhà hóa học thích sử dụng phương trình cân bằng với các hệ số là số nguyên dương nhỏ nhất.

Lưu lượng mạng

Hệ phương trình tuyến tính xuất hiện một cách tự nhiên khi các nhà khoa học, kỹ sư hoặc nhà kinh tế nghiên cứu sự luân chuyển của một đại lượng nào đó qua một mạng lưới. Ví dụ, các nhà quy hoạch đô thị và kỹ sư giao thông theo dõi mô hình dòng xe cộ trong hệ thống đường phố của thành phố. Kỹ sư điện tính toán dòng điện chạy qua các mạch điện. Các nhà kinh tế phân tích sự phân phối sản phẩm từ nhà sản xuất đến người tiêu dùng thông qua một mạng lưới bao gồm các nhà bán buôn và bán lẻ. Đối với nhiều mạng lưới, hệ phương trình có thể bao gồm hàng trăm hoặc thậm chí hàng nghìn biến số và phương trình.

Một mạng lưới bao gồm một tập hợp các điểm được gọi là nút giao (junctions) hoặc nút (nodes), được kết nối bởi các nhánh (branches) là các đường hoặc cung. Hướng dòng chảy trong mỗi nhánh được chỉ định, và lượng (hoặc tốc độ) dòng chảy được hiển thị hoặc được ký hiệu bằng một biến số.

Giả thuyết cơ bản của dòng lưu lượng mạng là tổng lưu lượng vào mạng bằng tổng lưu lượng ra khỏi mạng, và tổng lưu lượng vào một nút bằng tổng lưu lượng ra khỏi nút đó. Ví dụ, Hình 1 minh họa một nút với 30 đơn vị lưu lượng chảy vào thông qua một nhánh, với $x_1$ và $x_2$ là các dòng lưu lượng ra khỏi nút qua các nhánh khác. Vì dòng chảy được bảo toàn tại mỗi nút, ta có phương trình $x_1+x_2=30$ .

Tương tự, lưu lượng tại mỗi nút được mô tả bởi một phương trình tuyến tính. Bài toán phân tích mạng lưới là xác định dòng lưu lượng trong mỗi nhánh khi đã biết một phần thông tin (chẳng hạn như tổng lưu lượng vào và ra khỏi mạng).

Ví dụ 2: Mạng lưới trong Hình 2 minh họa dòng lưu lượng giao thông (đơn vị: số xe mỗi giờ) trên một số tuyến đường một chiều ở trung tâm Baltimore vào một buổi chiều điển hình. Xác định mô hình lưu lượng tổng quát của mạng lưới.

*Hình 2: Hệ thống đường phố ở Baltimore*

Giải: Viết các phương trình mô tả dòng lưu lượng, sau đó tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình. Đánh nhãn các giao lộ (nút) và các lưu lượng chưa biết trong các nhánh, như trong Hình 2. Tại mỗi giao lộ, thiết lập phương trình sao cho tổng lưu lượng vào bằng tổng lưu lượng ra.

Ngoài ra, tổng lưu lượng vào mạng là (500 + 300 + 100 + 400) bằng tổng lưu lượng ra $(300+x_3+600)$ , suy ra $x_3=400$ . Kết hợp phương trình này với sự sắp xếp lại của bốn phương trình đầu tiên, ta thu được hệ phương trình sau:

$\begin{matrix}x_{1}+x_{2}\qquad\qquad\qquad&=800\\\quad x_{2}-x_{3}+x_{4}&=300\\\qquad\qquad\qquad\qquad x_{4}+x_{5}&=500\\x_{1}\quad\quad\qquad\qquad+x_{5}&=600\\\qquad\quad\qquad x_{3}\qquad\qquad&=400\\\end{matrix}$

Giảm bậc ma trận mở rộng tương ứng dẫn đến

$\begin{matrix}x_{1}\quad\qquad\qquad\qquad+x_{5}&=600\\\qquad x_{2}\qquad\qquad\quad-x_{5}&=200\\\quad\quad\qquad x_{3}\qquad\qquad&=400\\\qquad\quad\qquad\qquad x_{4}+x_{5}&=500\end{matrix}$

Mô hình lưu lượng tổng quát của mạng lưới được mô tả bởi

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=&600-x_{5}\\x_{2}=&200+x_{5}\\x_{3}=&400\\x_{4}=&500-x_{5}\\x_{5}\,\text{is free}\\\end{matrix}\right.$

Dòng lưu lượng âm trong một nhánh của mạng lưới tương ứng với dòng chảy theo hướng ngược lại so với mô hình đã chỉ định. Vì các tuyến đường trong bài toán này là đường một chiều, nên không có biến nào có thể nhận giá trị âm. Thực tế này dẫn đến một số giới hạn đối với các giá trị có thể có của các biến. Ví dụ, $x_5\leq 500$ vì $x_4$ không thể âm.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 21: Ứng dụng của Hệ phương trình Tuyến tính (tiếp theo)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy