Bài giảng 24: Giới thiệu về Biến đổi Tuyến tính

Sự khác biệt giữa phương trình ma trận $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và phương trình véc-tơ tương ứng $x_{1}\mathbf{a}_{1}+\cdots+x_{n}\mathbf{a}_{n}=\mathbf{b}$ chỉ là vấn đề ký hiệu. Tuy nhiên, phương trình ma trận $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có thể xuất hiện trong đại số tuyến tính (và trong các ứng dụng như đồ họa máy tính hay xử lý tín hiệu) theo cách không liên quan trực tiếp đến tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ.

Điều này xảy ra khi ta xem ma trận $A$ như một đối tượng “tác động” lên một véc-tơ x bằng phép nhân, tạo ra một véc-tơ mới $A\mathbf{x}$ .

Ví dụ, các phương trình

và

cho thấy rằng phép nhân với latex]A[/latex] biến đổi $\mathbf{x}$ thành $\mathbf{b}$ , và biến đổi $\mathbf{u}$ thành véc-tơ không. Xem Hình 1: Biến đổi véc-tơ thông qua phép nhân ma trận.

Hình 1: Biến đổi véc tơ thông qua phép nhân ma trận.

Từ quan điểm mới này, việc giải phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tương đương với việc tìm tất cả các véc-tơ x trong $\mathbb{R}^{4}$ sao cho khi nhân với $A$ , ta thu được véc-tơ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^{2}$ .

Mối liên hệ giữa $\mathbf{x}$ và $A\mathbf{x}$ là một hàm số ánh xạ từ một tập hợp véc-tơ này sang một tập hợp véc-tơ khác. Khái niệm này tổng quát hóa ý niệm quen thuộc về một hàm số biến đổi một số thực thành một số thực khác.

Một biến đổi (hoặc hàm số, hoặc ánh xạ) $T$ từ $\mathbb{R}^{n}$ đến $\mathbb{R}^{m}$ là một quy tắc gán cho mỗi véc-tơ $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^{n}$ một véc-tơ $T(\mathbf{x})$ trong $\mathbb{R}^{m}$ .

$\mathbb{R}^{n}$ được gọi là miền xác định (domain) của $T$ .
$\mathbb{R}^{m}$ được gọi là miền giá trị (codomain) của $T$ .
Ký hiệu: $T$ : $\mathbb{R}^{n}$ → $\mathbb{R}^{m}$ .
Với $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}$ , véc-tơ $T(\mathbf{x})\in\mathbb{R}^{m}$ được gọi là ảnh của x dưới tác động của $T$ .
Tập hợp tất cả các ảnh $T(\mathbf{x})$ được gọi là phạm vi giá trị (range) của $T$ . Xem Hình 2: Miền xác định, miền giá trị, và phạm vi giá trị của $T$ .

Hình 2: Miền xác định, miền giá trị, và phạm vi giá trị của $T$ .

Thuật ngữ mới trong phần này rất quan trọng vì góc nhìn động về phép nhân ma trận – véc-tơ là chìa khóa để hiểu nhiều ý tưởng trong đại số tuyến tính, cũng như để xây dựng các mô hình toán học mô phỏng các hệ thống vật lý thay đổi theo thời gian.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 24: Giới thiệu về Biến đổi Tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy