Bài giảng 26: Biến đổi Tuyến tính

Định lý 5 trong bài trước chỉ ra rằng nếu $A$ là một ma trận kích thước $m\times n$ , thì phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ có các tính chất sau

$A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$ và $A(c\mathbf{u})=cA\mathbf{u}$

đối với mọi $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n}$ và mọi số vô hướng $c$ . Những tính chất này, khi được viết dưới dạng ký hiệu hàm, xác định lớp quan trọng nhất của các phép biến đổi trong đại số tuyến tính.

Định nghĩa

Một phép biến đổi (hoặc ánh xạ)  là tuyến tính nếu:
(i.)  với mọi  trong miền xác định của .
(ii.)  với mọi số vô hướng  và mọi  trong miền xác định của .

Mọi phép biến đổi ma trận đều là phép biến đổi tuyến tính. Các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng. Tính chất (i.) nói rằng kết quả của $T(\mathbf{u+v})$ , tức là cộng hai vectơ $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $\mathbb{R}^n$ trước rồi áp dụng $T$ , sẽ giống với việc áp dụng $T$ riêng cho từng vectơ rồi cộng hai kết quả trong $\mathbb{R}^m$ .

Hai tính chất này dẫn đến một số hệ quả quan trọng:

Nếu $T$ là một phép biến đổi tuyến tính, thì

(3) $\begin{equation*}T(\mathbf{0})=\mathbf{0}\end{equation*}$

và

(4) $\begin{equation*}T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})\end{equation*}$

với mọi vectơ $\mathbf{u, v}$ trong miền xác định của $T$ và mọi số vô hướng $c,d$ .

Tính chất (3) suy ra từ điều kiện (ii) trong định nghĩa, vì $T(\mathbf{0})=T(0\mathbf{u})=0T(\mathbf{u})=\mathbf{0}$ . Tính chất (4) yêu cầu cả hai điều kiện (i) và (ii):

$T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=T(c\mathbf{u})+T(d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})$

Lưu ý rằng nếu một phép biến đổi thỏa mãn (4) với mọi $\mathbf{u, v}$ và $c,\,d$ thì nó phải là một phép biến đổi tuyến tính. (Đặt $c=d=1$ để bảo toàn phép cộng, và đặt $d=0$ để bảo toàn phép nhân vô hướng.) Việc áp dụng lặp lại tính chất (4) dẫn đến một tổng quát hữu ích:

(5) $\begin{equation*}(c_{1}\mathbf{v_{1}}+\cdots+c_{p}\mathbf{v_p})=c_{1}T(\mathbf{v_{1}})+\cdots+c_{p}T(\mathbf{v_{p}})\end{equation*}$

Tính chất trên còn được gọi là nguyên lý chồng chất trong kỹ thuật và vật lý. Nếu ta coi $\mathbf{v_{1}},...,\mathbf{v_{p}}$ là các tín hiệu đầu vào hệ thống và $T(\mathbf{v_{1}}),...,T(\mathbf{v_{p}})$ là các phản hồi của hệ thống đối với tín hiệu đó, thì hệ thống thỏa mãn nguyên lý chồng chất nếu phản hồi của hệ thống đối với một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu cũng là tổ hợp tuyến tính của các phản hồi tương ứng.

Ví dụ: Cho số vô hướng $r$ , định nghĩa phép biến đổi $T$ : $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ bởi $T(\mathbf{x})=r\mathbf{x}$ . $T$ được gọi là phép co (contraction) khi $0\leq r\leq 1$ và phép giãn (dilation) khi $r>1$ . Cho $r=3$ , chứng minh rằng $T$ là một phép biến đổi tuyến tính.

Giải: Với mọi $\mathbf{u,v}\in\mathbb{R}^2$ và mọi số vô hướng $c,d$ , ta có:

Do đó, $T$ là một phép biến đổi tuyến tính vì nó thỏa mãn cả hai điều kiện trong định nghĩa. Xem hình 5.

Ví dụ 2: Định nghĩa phép biến đổi $T$ : $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ bởi

$T(x)=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-x_2\\x_1\end{bmatrix}$

Tìm ảnh của các vectơ sau dưới phép biến đổi $T$

$\mathbf{u}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$
$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$
và $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix}$ .

Giải:

$\begin{matrix}T(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix},\qquad&T(\mathbf{v})=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

$T(\mathbf{u+v})=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\6\end{bmatrix}$

Lưu ý rằng $T(\mathbf{u+v})$ rõ ràng bằng $T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ . Từ Hình 6, có thể thấy rằng $T$ quay các vectơ $\mathbf{u,v}$ và $\mathbf{u+v}$ ngược chiều kim đồng hồ một góc 90 độ quanh gốc tọa độ. Thực tế, $T$ biến đổi toàn bộ hình bình hành được xác định bởi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ thành hình bình hành được xác định bởi $T(\mathbf{u})$ và $T(\mathbf{v})$ .

Ví dụ cuối cùng không mang tính hình học; thay vào đó, nó cho thấy cách một ánh xạ tuyến tính có thể chuyển đổi một loại dữ liệu sang một loại khác.

Ví dụ 3: Một công ty sản xuất hai sản phẩm, B và C. Sử dụng dữ liệu từ Ví dụ 7 trong Mục 1.3, ta xây dựng một ma trận “chi phí đơn vị”, $U=\begin{bmatrix}\mathbf{b}&\mathbf{c}\\\end{bmatrix}$ , trong đó các cột mô tả “chi phí trên mỗi đô la sản phẩm” của từng sản phẩm:

Gọi $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ là một vectơ “sản xuất”, trong đó $x_{1}$ là số đô la của sản phẩm B và $x_{2}$ là số đô la của sản phẩm C, và định nghĩa ánh xạ $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ bằng

Ánh xạ $T$ chuyển đổi danh sách sản lượng sản xuất (được đo bằng đô la) thành danh sách tổng chi phí. Tính tuyến tính của ánh xạ này được phản ánh theo hai cách:

Nếu sản lượng được tăng lên theo một hệ số, chẳng hạn 4, từ $\mathbf{x}\to 4\mathbf{x}$ , thì chi phí cũng sẽ tăng theo cùng một hệ số, từ $T(\mathbf{x})\to 4T(\mathbf{x})$ .
Nếu $\mathbf{x}$ và $\mathbf{y}$ là các vectơ sản xuất, thì vectơ chi phí tổng cộng tương ứng với tổng sản lượng $\mathbf{x+y}$ chính là tổng của các vectơ chi phí $T(\mathbf{x})$ và $T(\mathbf{y})$ .