Bài giảng 6: Phép Khử Hàng và Dạng Bậc Thang

Thuật toán này có thể áp dụng cho bất kỳ ma trận nào, dù ma trận đó có được xem là ma trận mở rộng của một hệ tuyến tính hay không. Vì vậy, phần đầu của mục này sẽ xem xét một ma trận chữ nhật bất kỳ và bắt đầu bằng cách giới thiệu hai lớp ma trận quan trọng, bao gồm cả các ma trận “tam giác” đã đề cập trong bài trước.

Trong các định nghĩa sau, một hàng hoặc cột không phải là không trong ma trận có nghĩa là nó chứa ít nhất một phần tử khác không; một phần tử dẫn đầu của một hàng là phần tử khác không đầu tiên tính từ trái sang (trong một hàng không phải là không).

Định Nghĩa: Một ma trận chữ nhật được gọi là dạng bậc thang (echelon form hoặc row echelon form) nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:

Tất cả các hàng khác không đều nằm trên các hàng toàn số 0.
Mỗi phần tử dẫn đầu của một hàng nằm ở một cột bên phải phần tử dẫn đầu của hàng phía trên nó.
Tất cả các phần tử trong một cột nằm dưới một phần tử dẫn đầu đều bằng 0.
Nếu một ma trận dạng bậc thang thỏa mãn thêm hai điều kiện sau, thì nó được gọi là dạng bậc thang rút gọn (reduced echelon form hoặc reduced row echelon form):
Mỗi phần tử dẫn đầu trong mỗi hàng khác không là 1.
Mỗi phần tử dẫn đầu 1 là phần tử khác không duy nhất trong cột của nó.

Một ma trận chữ nhật được gọi là dạng bậc thang (echelon form hoặc row echelon form) nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:

Tất cả các hàng khác không đều nằm trên các hàng toàn số 0.
Mỗi phần tử dẫn đầu của một hàng nằm ở một cột bên phải phần tử dẫn đầu của hàng phía trên nó.
Tất cả các phần tử trong một cột nằm dưới một phần tử dẫn đầu đều bằng 0.

Nếu một ma trận dạng bậc thang thỏa mãn thêm hai điều kiện sau, thì nó được gọi là dạng bậc thang rút gọn (reduced echelon form hoặc reduced row echelon form):

4. Mỗi phần tử dẫn đầu trong mỗi hàng khác không là 1.

5. Mỗi phần tử dẫn đầu 1 là phần tử khác không duy nhất trong cột của nó.

Một ma trận bậc thang (echelon matrix) (tương ứng ma trận bậc thang rút gọn (reduced echelon matrix)) là một ma trận có dạng bậc thang (tương ứng dạng bậc thang rút gọn).

Tính chất số 2 cho thấy các phần tử dẫn đầu tạo thành một dạng bậc thang (steplike), di chuyển từ trên xuống dưới và từ trái sang phải trong ma trận. Tính chất số 3 là hệ quả của tính chất số 2, nhưng nó vẫn được nhấn mạnh để dễ hiểu hơn.

Các ma trận “tam giác” đã đề cập trong bài trước, chẳng hạn như:

$\begin{bmatrix}2&-3&2&1\\0&1&-4&8\\0&0&0&5/2\\\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}1&0&0&29\\0&1&0&16\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}$

đều ở dạng bậc thang. Trên thực tế, ma trận thứ hai là một ma trận dạng bậc thang rút gọn.

Ví dụ 1: Các ma trận sau đây ở dạng bậc thang. Các phần tử dẫn đầu ( $\bullet$ ) có thể có bất kỳ giá trị khác không nào; các phần tử được đánh dấu (*) có thể nhận bất kỳ giá trị nào (bao gồm cả 0).

$\begin{bmatrix}\bullet&\ast&\ast&\ast\\0&\bullet&\ast&\ast\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix},\qquad\begin{bmatrix}0&\bullet&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&0&0&\bullet&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&0&0&0&\bullet&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&0&0&0&0&\bullet&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&0&0&0&0&0&0&0&\bullet&\ast\\\end{bmatrix}$

Các ma trận sau đây ở dạng bậc thang rút gọn vì các phần tử dẫn đầu đều bằng 1, và tất cả các phần tử khác trong cột của mỗi phần tử dẫn đầu đều bằng 0.

$\begin{bmatrix}1&0&\ast&\ast\\0&1&\ast&\ast\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix},\qquad\begin{bmatrix}0&1&\ast&0&0&0&\ast&\ast&0&\ast\\0&0&0&1&0&0&\ast&\ast&0&\ast\\0&0&0&0&1&0&\ast&\ast&0&\ast\\0&0&0&0&0&1&\ast&\ast&0&\ast\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&\ast\\\end{bmatrix}$

Bất kỳ ma trận khác không nào cũng có thể được khử hàng (tức là biến đổi bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp) thành nhiều ma trận dạng bậc thang khác nhau, tùy thuộc vào thứ tự thực hiện các phép biến đổi hàng. Tuy nhiên, dạng bậc thang rút gọn thu được từ một ma trận là duy nhất.

Định Lý 1: Tính duy nhất của dạng bậc thang rút gọn

Mỗi ma trận đều tương đương hàng với duy nhất một ma trận dạng bậc thang rút gọn.

Nếu một ma trận AA tương đương hàng với một ma trận dạng bậc thang U, ta gọi U là dạng bậc thang (echelon form) (hoặc dạng bậc thang hàng (row echelon form)) của A; nếu U ở dạng bậc thang rút gọn, ta gọi U là dạng bậc thang rút gọn (reduced echelon form) của A.

[Hầu hết các chương trình và máy tính có chức năng xử lý ma trận đều sử dụng ký hiệu RREF (reduced row echelon form) cho dạng bậc thang rút gọn và REF (row echelon form) cho dạng bậc thang hàng.]

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 6: Phép Khử Hàng và Dạng Bậc Thang

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy