Bài giảng 25: Biến đổi Ma trận

Tiếp theo bài trước, bài này tập trung vào các ánh xạ liên quan đến phép nhân ma trận. Với mỗi $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^{n}$ , ánh xạ $T\mathbf{x}$ được tính bằng $A\mathbf{x}$ , trong đó $A$ là một ma trận kích thước $m\times n$ . Để đơn giản, ta có thể ký hiệu phép biến đổi ma trận này là $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ .

Miền xác định (domain) của $T$ là $\mathbb{R}^{n}$ nếu $A$ có $n$ cột.
Miền giá trị (codomain) của $T$ là $\mathbb{R}^{m}$ nếu mỗi cột của $A$ có $m$ phần tử.
Phạm vi giá trị (range) của $T$ là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ , vì mỗi ảnh $T(\mathbf{x})$ có dạng $A\mathbf{x}$ .

Ví dụ 1: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\\\end{bmatrix}$ , $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix},\mathbf{c}=\begin{bmatrix}3\\2\\5\end{bmatrix}$ , và định nghĩa phép biến đổi $T$ : $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$ bằng công thức $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ sao cho:

a) Tìm $T(\mathbf{u})$ , tức là ảnh của $\mathbf{u}$ dưới phép biến đổi $T$ .

b) Tìm một véc-tơ $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^{2}$ sao cho ảnh của nó dưới $T$ là $\mathbf{b}$ .

c) Có bao nhiêu véc-tơ $\mathbf{x}$ khác nhau sao cho ảnh của nó là $\mathbf{b}$ ?

d) Xác định xem $\mathbf{c}$ có nằm trong phạm vi giá trị của $T$ hay không.

Giải:

a) Tính

$T(\mathbf{u})=A\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-5&7\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\1\\-9\end{bmatrix}$

b) Giải phương trình $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ , tức là $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , hoặc

(1) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}1&-3\\3&5\\-1&7\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\\-5\end{bmatrix}\end{equation*}$

Sử dụng phương pháp khử Gauss (đã trình bày trong bài trước) để rút gọn ma trận mở rộng.

(2) $\begin{equation*}\begin{bmatrix}1&-3&3\\3&5&2\\-1&7&-5\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&14&-7\\0&4&-2\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&-5\\0&0&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&1.5\\0&1&-5\\0&0&0\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Do đó, $x_1=1.5$ , $x_2=-.5$ , và $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1.5\\-.5\end{bmatrix}$ . Ảnh của $\mathbf{x}$ dưới phép biến đổi $T$ chính là vector $\mathbf{b}$ đã cho.

c) Bất kỳ $\mathbf{x}$ nào có ảnh dưới $T$ là $\mathbf{b}$ đều phải thỏa mãn phương trình (1). Từ (2), rõ ràng rằng phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Do đó, chỉ có một $\mathbf{x}$ duy nhất sao cho ảnh của nó là $\mathbf{b}$ .

d) Vector $\mathbf{c}$ nằm trong phạm vi của $T$ nếu $\mathbf{c}$ là ảnh của một số $\mathbf{x}$ trong $\mathbb{R}^2$ , tức là nếu $\mathbf{c}=T(\mathbf{x})$ với một số $\mathbf{x}$ . Đây chỉ là một cách khác để hỏi liệu hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ có nghiệm hay không. Để tìm câu trả lời, thực hiện phép khử hàng trên ma trận bổ sung:

$\begin{bmatrix}1&-3&3\\3&5&2\\-1&7&5\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&14&-7\\0&4&8\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&2\\0&14&-7\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&2\\0&0&-35\\\end{bmatrix}$

Phương trình thứ ba, $0=-35$ , cho thấy rằng hệ phương trình không có nghiệm. Do đó, $\mathbf{c}$ không thuộc phạm vi giá trị của $T$ .

Câu hỏi trong Ví dụ 1(c) là một bài toán về tính duy nhất của nghiệm trong hệ phương trình tuyến tính, được diễn đạt lại theo ngôn ngữ của phép biến đổi ma trận: Liệu $\mathbf{b}$ có phải là ảnh của một $\mathbf{x}$ duy nhất trong $\mathbb{R}^n$ không?

Tương tự, Ví dụ 1(d) là một bài toán về tính tồn tại của nghiệm: Liệu có tồn tại một $\mathbf{x}$ nào đó sao cho ảnh của nó là $\mathbf{c}$ không?

Hai phép biến đổi ma trận tiếp theo có thể được hình dung một cách hình học. Chúng củng cố quan điểm động về ma trận như một công cụ biến đổi vector này thành vector khác.

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}$ , phép biến đổi $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ chiếu các điểm trong $\mathbb{R}^{3}$ lên mặt phẳng $x_{1}x_{2}$ vì

$\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{bmatrix}$

Xem hình 3

Hình 3: Phép biến đổi hình chiếu

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\\end{bmatrix}$ , phép biến đổi $T$ : $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ xác định bởi $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ được gọi là biến đổi cắt (shear transformation).

Khi T tác động lên mỗi điểm trong một hình vuông kích thước $2\times 2$ , tập hợp ảnh của nó tạo thành một hình bình hành bị kéo nghiêng.
Nguyên lý chính: $T$ ánh xạ các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng.
Khi kiểm tra các góc của hình vuông, ta thấy rằng chúng ánh xạ thành các đỉnh của hình bình hành.

Ví dụ, ảnh của điểm $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$ là $T(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$ , và ảnh của toàn bộ hình vuông bị biến dạng giống như khi đỉnh trên bị đẩy sang phải trong khi đáy cố định. Các phép biến đổi cắt xuất hiện trong vật lý, địa chất và tinh thể học.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 25: Biến đổi Ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy