Bài giảng 28: Câu Hỏi về Tồn Tại và Duy Nhất

Khái niệm về phép biến đổi tuyến tính cung cấp một cách tiếp cận mới để hiểu các câu hỏi về sự tồn tại và tính duy nhất đã được đề cập trước đó. Hai định nghĩa sau đây đưa ra thuật ngữ phù hợp cho các phép biến đổi.

Định nghĩa

Một ánh xạ  được gọi là ánh xạ toàn ánh lên  nếu mỗi phần tử  trong  là ảnh của ít nhất một phần tử  trong .

Tương đương, $T$ được gọi là ánh xạ toàn ánh lên $\mathbb{R}^m$ khi ảnh (range) của $T$ chính là toàn bộ đối miền $\mathbb{R}^m$ . Nghĩa là, $T$ ánh xạ $\mathbb{R}^n$ lên $\mathbb{R}^m$ nếu với mỗi $\mathbf{b}$ trong đối miền $\mathbb{R}^m$ , luôn tồn tại ít nhất một nghiệm $\mathbf{b}$ của phương trình $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ .

T không phải là toàn ánh trên $\mathbb{R}^m$

HÌNH 3: Miền giá trị của T có phải là toàn bộ $\mathbb{R}^m$ ?

BẢNG 1: Phép phản xạ

Phép biến đổi

Ảnh của hình vuông đơn vị

Ma trận chuẩn

Phản xạ qua trục $x_{1}$

$\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}$

Phản xạ qua trục $x_{2}$

$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Phản xạ qua đường thẳng $x_{2}=x_{1}$

$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}$

Phản xạ qua đường thẳng $x_{2}=-x_{1}$

$\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\\\end{bmatrix}$

Phản xạ qua gốc tọa độ

$\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}$

BẢNG 2: Co giãn và Mở rộng

Phép biến đổi

Ảnh của hình vuông đơn vị

Ma trận chuẩn

Co giãn và mở rộng theo chiều ngang

$\begin{bmatrix}k&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Co giãn và mở rộng theo chiều dọc

$\begin{bmatrix}1&0\\0&k\\\end{bmatrix}$

BẢNG 3: Phép Biến Dạng

Phép biến đổi

Ảnh của hình vuông đơn vị

Ma trận chuẩn

Biến dạng theo chiều ngang

$\begin{bmatrix}1&k\\0&1\\\end{bmatrix}$

Biến dạng theo chiều dọc

$\begin{bmatrix}1&0\\k&1\\\end{bmatrix}$

BẢNG 4: Phép Chiếu

Phép biến đổi

Ảnh của hình vuông đơn vị

Ma trận chuẩn

Chiếu lên trục $x_{1}$

$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}$

Chiếu lên trục $x_{1}$

$\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}$

Định nghĩa

Một ánh xạ  được gọi là đơn ánh nếu mỗi phần tử  trong  là ảnh của nhiều nhất một phần tử  trong .

Tương đương, $T$ là đơn ánh nếu, với mỗi $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^m$ , phương trình $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ có hoặc một nghiệm duy nhất, hoặc không có nghiệm nào. Câu hỏi “T có phải là đơn ánh không?” chính là một câu hỏi về tính duy nhất.

Ánh xạ $T$ không đơn ánh khi tồn tại một phần tử $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^m$ là ảnh của nhiều hơn một véc-tơ trong $\mathbb{R}^n$ . Nếu không tồn tại phần tử như vậy, thì $T$ là đơn ánh.

Xem Hình 4.

HÌNH 4: Mỗi phần tử $\mathbf{b}$ có phải ảnh của nhiều nhất một véc-tơ không?

Các phép chiếu trong Bảng 4 không phải là đơn ánh và cũng không toàn ánh từ $\mathbb{R}^2$ lên $\mathbb{R}^2$ . Ngược lại, các phép biến đổi trong Bảng 1, 2 và 3 đều là đơn ánh và toàn ánh từ $\mathbb{R}^2$ lên $\mathbb{R}^2$ . Các trường hợp khác được minh họa trong hai ví dụ dưới đây.

Ví dụ 4 và các định lý tiếp theo cho thấy mối quan hệ giữa tính chất đơn ánh, toàn ánh và các khái niệm quan trọng đã học trong phần này.

Ví dụ 4: Cho $T$ là một phép biến đổi tuyến tính có ma trận chuẩn là

$A=\begin{bmatrix}1&-4&8&1\\0&2&-1&3\\0&0&0&5\\\end{bmatrix}$

$T$ có ánh xạ từ $\mathbb{R}^4$ lên toàn bộ $\mathbb{R}^3$ không?
$T$ có phải là một ánh xạ đơn ánh không?

Giải: Do $A$ đang ở dạng bậc thang, ta có thể dễ dàng thấy rằng $A$ có một vị trí chốt trong mỗi hàng. Theo Định lý 4 trong bài trước, với mỗi $\mathbf{b}$ trong $\mathbb{R}^3$ , phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ luôn có nghiệm. Nói cách khác, phép biến đổi tuyến tính $T$ toàn ánh từ $\mathbb{R}^4$ lên $\mathbb{R}^3$ .

Tuy nhiên, do phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có một biến tự do (vì có bốn biến nhưng chỉ có ba biến cơ sở), nên mỗi $\mathbf{b}$ có hơn một nghiệm $\mathbf{x}$ . Do đó, $T$ không đơn ánh.

Định lý 11

Cho  là một phép biến đổi tuyến tính. Khi đó,  là đơn ánh nếu và chỉ nếu phương trình  chỉ có nghiệm tầm thường.

Nhận xét: Để chứng minh một định lý có dạng “mệnh đề $P$ đúng khi và chỉ khi mệnh đề $Q$ đúng”, ta cần thiết lập hai điều kiện sau:

Nếu $P$ đúng thì $Q$ đúng.
Nếu $Q$ đúng thì $P$ đúng.

Yêu cầu thứ hai cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phản chứng: (2a) Nếu $P$ sai thì $Q$ cũng sai (Kỹ thuật này gọi là lập luận phản đảo).

Bằng chứng dưới đây sử dụng phương pháp (1) và (2a) để chứng minh rằng $P$ và $Q$ hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai.

Chứng minh: Vì $T$ là một ánh xạ tuyến tính, ta có $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ .

Nếu $T$ là đơn ánh, thì phương trình $T(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ có nhiều nhất một nghiệm, tức là chỉ có nghiệm tầm thường $\mathbf{x}=0$ .
Nếu $T$ không đơn ánh, tức là tồn tại một véc-tơ $\mathbf{0}$ trong $\mathbb{R}^m$ là ảnh của ít nhất hai véc-tơ khác nhau trong $\mathbb{R}^n$ , giả sử $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ . Khi đó: $\quad T(\mathbf{u})=b$ , $\quad T(\mathbf{v})=b$ Do $T$ là tuyến tính, ta có:

$T(\mathbf{u-v})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v})=\mathbf{b}-\mathbf{b}=0$

Vì $\mathbf{u}\neq\mathbf{v}$ , nên $\mathbf{u}-\mathbf{v}\neq 0$ . Do đó, phương trình $T\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có nhiều hơn một nghiệm. Như vậy, hoặc cả hai điều kiện trong định lý đều đúng, hoặc cả hai đều sai.

Định lý 12

Cho  là một phép biến đổi tuyến tính và  là ma trận tiêu chuẩn của . Khi đó: 
a.  ánh xạ  lên  nếu và chỉ nếu các cột của  sinh  . 
b.  là đơn ánh nếu và chỉ nếu các cột của  là độc lập tuyến tính.

Nhận xét: Các phát biểu “nếu và chỉ nếu” có thể được liên kết với nhau. Ví dụ, nếu ta biết rằng “ $P$ nếu và chỉ nếu $Q$ ” và “ $Q$ nếu và chỉ nếu $R$ ”, thì có thể kết luận rằng “ $P$ nếu và chỉ nếu $R$ ”. Chiến lược này được sử dụng nhiều lần trong chứng minh dưới đây.

Chứng minh:

a) Theo Định lý 4, các cột của $A$ sinh $\mathbb{R}^m$ nếu và chỉ nếu với mọi $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$ , phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm, tức là nếu và chỉ nếu với mọi $\mathbf{b}$ , phương trình $T\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có ít nhất một nghiệm. Điều này đúng khi và chỉ khi $T$ ánh xạ $\mathbb{R}^n$ lên $\mathbb{R}^m$ .

b) Hai phương trình $T\mathbf{x}=\mathbf{0}$ và $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ thực chất giống nhau về mặt toán học. Do đó, theo Định lý 11, $T$ là đơn ánh nếu và chỉ nếu phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường. Điều này xảy ra khi và chỉ khi các cột của $A$ là độc lập tuyến tính.

Phát biểu (a) trong Định lý 12 tương đương với khẳng định: “ $T$ ánh xạ $\mathbb{R}^n$ lên $\mathbb{R}^m$ nếu và chỉ nếu mọi véc-tơ trong $\mathbb{R}^m$ là tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ ”. Xem lại Định lý 4.

Trong ví dụ tiếp theo, các vectơ cột được viết dưới dạng hàng, chẳng hạn như $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ , và $T(\mathbf{x})$ được viết dưới dạng $T(x_1,x_2)$ thay vì cách viết chính thức hơn $T((x_1,x_2))$ .

Ví dụ 5: Cho $T(x_1,x_2)=(3x_1+x_2,\,5x_1+7x_2,\,x_1+3x_2)$

Chứng minh rằng $T$ là đơn ánh. $T$ có ánh xạ $\mathbb{R}^2$ lên $\mathbb{R}^3$ không?

Giải: Khi viết $\mathbf{x}$ và $T(\mathbf{x})$ dưới dạng véc-tơ cột, ta có thể xác định ngay ma trận tiêu chuẩn của $T$ bằng cách quan sát, hình dung phép tính vectơ hàng cho từng phần tử trong $A(\mathbf{x})$ .

(4) $\begin{equation*}(T\mathbf{x})=\begin{bmatrix}3x_1+x_2\\5x_1+7x_2\\x_1+3x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}?&?\\?&?\\?&?\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&1\\5&7\\1&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\end{equation*}$

Như vậy, $T$ thực sự là một phép biến đổi tuyến tính, với ma trận tiêu chuẩn $A$ được cho trong (4). Các cột của A $A$ là độc lập tuyến tính vì chúng không phải là bội của nhau. Theo Định lý 12(b), $T$ là đơn ánh.

Để xác định xem $T$ có phải là toàn ánh lên $\mathbb{R}^3$ hay không, ta xét tập sinh của các cột của $A$ . Vì $A$ có kích thước $3\times 2$ , các cột của $A$ sinh $\mathbb{R}^3$ nếu và chỉ nếu A $A$ có 3 vị trí chốt, theo Định lý 4. Điều này là không thể, vì $A$ chỉ có 2 cột. Do đó, các cột của $A$ không sinh $\mathbb{R}^3$ , và phép biến đổi tuyến tính tương ứng không phải là toàn ánh lên $\mathbb{R}^3$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 28: Câu Hỏi về Tồn Tại và Duy Nhất

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy