Bài giảng 12: Phương trình Véc-tơ (Ví dụ)

Các phép toán nhân vô hướng và cộng véc-tơ có thể được kết hợp như trong ví dụ sau.

Ví dụ 1: Cho $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\-5\end{bmatrix}$ , tìm $4\mathbf{u}$ , và $4\mathbf{u}+(-3)\mathbf{v}$ .

Giải: Đôi khi, để thuận tiện (và cũng để tiết kiệm không gian), văn bản này có thể viết một véc-tơ cột như $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$ dưới dạng (3, -1). Trong trường hợp này, dấu ngoặc đơn và dấu phẩy giúp phân biệt véc-tơ (3, -1) với ma trận hàng [3 −1], được viết bằng dấu ngoặc vuông và không có dấu phẩy. Do đó

$\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}3&-1\end{bmatrix}$

vì chúng có hình dạng khác nhau, mặc dù chúng có cùng phần tử.

Mô tả Hình học của $\mathbb{R}^2$

Xét hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng. Vì mỗi điểm trong mặt phẳng được xác định bởi một cặp số có thứ tự, chúng ta có thể xác định một điểm hình học (a,b) với véc-tơ cột $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ . Do đó, chúng ta có thể coi $\mathbb{R}^2$ là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng.

Xem Hình 1.

Hình dung trực quan một véc-tơ như $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$ thường được hỗ trợ bằng cách thêm một mũi tên (đoạn thẳng có hướng) từ gốc tọa độ (0,0) đến điểm (3,−1) như trong hình 2. Trong trường hợp này, các điểm riêng lẻ dọc theo mũi tên không có ý nghĩa đặc biệt.

Tổng của hai véc-tơ có một biểu diễn hình học hữu ích. Quy tắc sau đây có thể được xác minh bằng hình học giải tích.

Quy tắc Hình Bình Hành cho Phép Cộng

Nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ trong $\mathbb{R}^2$ được biểu diễn dưới dạng điểm trong mặt phẳng, thì $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ tương ứng với đỉnh thứ tư của hình bình hành có ba đỉnh còn lại là $\mathbf{u}$ , $\mathbf{0}$ , và $\mathbf{v}$ .

Xét Hình 3.

Ví dụ 2: Véc-tơ $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$ , $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}-6\\1\end{bmatrix}$ , và $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{bmatrix}-4\\3\end{bmatrix}$ được hiển thị trong Hình 4.

Ví dụ tiếp theo minh họa thực tế rằng tập hợp tất cả các bội vô hướng của một véc-tơ không bằng không cố định là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ (0, 0).

Ví dụ 3: Cho $\mathbf{u}=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$ . Biểu diễn các véc-tơ $\mathbf{u},2\mathbf{u},$ và $-\frac{2}{3}\mathbf{u}$ trên một đồ thị.

Giải: Xem Hình 5, trong đó $\mathbf{u}$ , $2\mathbf{u}=\begin{bmatrix}6\\-2\end{bmatrix}$ và $-\frac{2}{3}\mathbf{u}=\begin{bmatrix}-2\\2/3\end{bmatrix}$ được hiển thị.

Mũi tên của $2\mathbf{u}$ dài gấp đôi mũi tên của $\mathbf{u}$ , và chúng cùng hướng. Mũi tên của $-\frac{2}{3} \mathbf{u}$ có độ dài bằng hai phần ba mũi tên của $\mathbf{u}$ , và chúng hướng ngược nhau. Nhìn chung, độ dài của mũi tên cho $c\mathbf{u}$ là |c| lần độ dài của mũi tên cho $\mathbf{u}$ .

Nhớ rằng độ dài của đoạn thẳng từ (0, 0) đến (a, b) là $\sqrt{a^2+b^2}$ .

*Các bội số tiêu biểu của u và Tập hợp tất cả các bội số của u*

Hình 5

Véc-tơ trong $\mathbb{R}^3$

Các vector trong $\mathbb{R}^3$ là các ma trận cột có kích thước 3 × 1 với ba phần tử. Chúng được biểu diễn một cách trực quan trong không gian tọa độ ba chiều, với các mũi tên xuất phát từ gốc tọa độ đôi khi được thêm vào để làm rõ. Các vector $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$ và $2\mathbf{a}$ hiển thị trong Hình 6.

Vector trong $\mathbb{R}^n$

Nếu n là một số nguyên dương, $\mathbb{R}^n$ (đọc là “r-n”) biểu thị tập hợp tất cả các danh sách (hoặc n-tuple sắp thứ tự) gồm n số thực, thường được viết dưới dạng ma trận cột n × 1, chẳng hạn như

$\textbf{u}=\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots\\u_{n}\end{bmatrix}$

Vector có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là vector không và được ký hiệu là 0. (Số lượng phần tử trong 0 sẽ rõ ràng từ ngữ cảnh.)

Tính bằng nhau của các vector trong $\mathbb{R}^n$ và các phép toán nhân vô hướng cũng như cộng vector trong $\mathbb{R}^n$ được định nghĩa theo từng phần tử, giống như trong $\mathbb{R}^n$ . Các phép toán trên vector có các tính chất sau, có thể được kiểm chứng trực tiếp từ các tính chất tương ứng của số thực.

Các tính chất đại số của 
Với mọi  thuộc  và mọi vô hướng  và :
(i)	 
(ii)	
(iii)	
(iv)	 trong đó -u biểu diễn (−1)u
(v)	
(vi)	
(vii)	
(viii)

Vì lý do đơn giản hóa ký hiệu, một vector như u + (−1)v thường được viết thành u − v. Hình 7 minh họa u − v như là tổng của u và −v.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 12: Phương trình Véc-tơ (Ví dụ)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy