Bài giảng 17: Tính toán tích Ax

Các phép tính trong bài trước dựa trên định nghĩa của tích giữa một ma trận A và một vector x. Ví dụ đơn giản sau đây sẽ giới thiệu một phương pháp hiệu quả hơn để tính các phần tử trong Ax khi thực hiện tính toán bằng tay.

Ví dụ: Tính Ax, trong đó $A=\begin{bmatrix}2&3&4\\-1&5&-3\\6&-2&8\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}$ .

Giải: Theo định nghĩa

$\begin{bmatrix}2&3&4\\-1&5&-3\\6&-2&8\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=x_{1}\begin{bmatrix}2\\-1\\6\\\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}3\\5\\-2\\\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}4\\-3\\8\\\end{bmatrix}$

(7) $\begin{equation*}=\begin{bmatrix}2x_{1}\\-x_{1}\\6x_{1}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3x_{2}\\5x_{2}\\-2x_{2}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4x_{3}\\-3x_{3}\\8x_{3}\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

$=\begin{bmatrix}2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\\-x_{1}+5x_{2}-3x_{3\\6x_{1}-2x_{2}+8x_{3}\end{bmatrix}$

Phần tử đầu tiên trong tích Ax là tổng của các tích (đôi khi được gọi là tích vô hướng), sử dụng hàng đầu tiên của A và các phần tử trong x. Cụ thể:

$\begin{bmatrix}2&3&4\\&&\\&&\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}\\&\\&\end{bmatrix}$

Ma trận này cho thấy cách tính trực tiếp phần tử đầu tiên trong AxAx mà không cần viết ra toàn bộ phép toán như trong phương trình (7).

Tương tự, phần tử thứ hai trong Ax có thể được tính ngay bằng cách nhân các phần tử trong hàng thứ hai của A với các phần tử tương ứng trong x, sau đó lấy tổng:

$\begin{bmatrix}&&\\-1&5&-3\\&&\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&\\-x_{1}+5x_{2}-3x_{3}\\&\end{bmatrix}$

Tương tự, phần tử thứ ba trong Ax có thể được tính bằng cách sử dụng hàng thứ ba của A và các phần tử trong x.

Quy tắc hàng–vector để tính Ax

Nếu tích Ax được xác định, thì phần tử thứ i trong Ax là tổng của các tích giữa các phần tử tương ứng từ hàng thứ i của A và từ vector x.

Ví dụ 2:

a) $\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&-5&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\3\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot 4+2\cdot 3+(-1)\cdot 7\\0\cdot 4+(-5)\cdot 3+3\cdot 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$

b) $\begin{bmatrix}2&-3\\8&0\\-5&2\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot 4+(-3)\cdot 7\\8\cdot 4+0\cdot 7\\(-5)\cdot 4+2\cdot 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-13\\32\\-6\end{bmatrix}$

c) $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r\\s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot r+0\cdot s+0\cdot t\\0\cdot r+1\cdot s+0\cdot t\\0\cdot r+0\cdot s+1\cdot t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r\\s\\t\end{bmatrix}$

Theo định nghĩa, ma trận trong Ví dụ 2(c) có các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính và 0 ở các vị trí còn lại được gọi là ma trận đơn vị (identity matrix) và được ký hiệu là II.

Phép toán trong phần (c) cho thấy rằng $I\mathbf{x}=\mathbf{x}$ với mọi $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$

Tương tự, tồn tại một ma trận đơn vị kích thước $n\times n$ , thường được ký hiệu là $I_n$ , và như trong phần (c): $I\mathbf{x}=\mathbf{x}$ với mọi $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$

Tính chất của tích ma trận–vector Ax

Những tính chất sau đây rất quan trọng và sẽ được sử dụng xuyên suốt nội dung. Chứng minh dựa trên định nghĩa của Ax và các tính chất đại số của không gian $\mathbb{R}^n$ .

Định lý 5
Nếu A là ma trận m×n, u và v là các vector trong , và c là một số vô hướng, thì:
a.	;
b.	.

Chứng minh: Để đơn giản, chọn $n=3,A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_{1}&\mathbf{a}_{2}&\mathbf{a}_{3}\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ . Với $i=1,2,3$ , gọi $u_i$ và $v_i$ là phần tử thứ i của $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ .

Để chứng minh mệnh đề (a), ta tính $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ , sử dụng các phần tử trong $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ làm hệ số.

$A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{a_{3}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\u_{3}+v_{3}\end{bmatrix}$

$=(u_{1}\mathbf{a_{1}}+u_{2}\mathbf{a_{2}}+u_{3}\mathbf{a_{3}})+(v_{1}\mathbf{a_{1}}+v_{2}\mathbf{a_{2}}+v_{3}\mathbf{a_{3}})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$

Tương tự, để chứng minh mệnh đề (b), ta tính $A(c\mathbf{u})$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ bằng cách sử dụng các phần tử trong $c\mathbf{u}$ làm hệ số:

$A(c\mathbf{u})=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{1}}&\mathbf{a_{2}}&\mathbf{a_{3}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cu_{1}\\cu_{2}\\cu_{3}\end{bmatrix}=(cu_{1})\mathbf{a_{1}}+(cu_{2})\mathbf{a_{2}}+(cu_{3})\mathbf{a_{3}}$

$=c(u_{1}\mathbf{a_{1}}+u_{2}\mathbf{a_{2}}+u_{3}\mathbf{a_{3}})$

$=c(A\mathbf{u})$

Ghi chú về tính toán số học

Để tối ưu hóa một thuật toán máy tính tính $A\mathbf{x}$ , trình tự các phép tính nên sử dụng dữ liệu được lưu trữ trong các vị trí bộ nhớ liên tiếp.

Các thuật toán chuyên nghiệp phổ biến nhất cho tính toán ma trận thường được viết bằng Fortran, ngôn ngữ này lưu trữ ma trận theo cột. Do đó, các thuật toán này tính $A\mathbf{x}$ bằng cách sử dụng tổ hợp tuyến tính của các cột của $A$ .

Ngược lại, nếu một chương trình được viết bằng C, ngôn ngữ lưu trữ ma trận theo hàng, thì $A\mathbf{x}$ nên được tính bằng quy tắc sử dụng các hàng của $A$ .

Chứng minh Định lý 4

Như đã đề cập sau Định lý 4, các mệnh đề (a), (b) và (c) là tương đương về mặt logic. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng (a) và (d) hoặc là đều đúng, hoặc là đều sai. Điều này sẽ liên kết cả bốn mệnh đề với nhau.

Gọi $U$ là dạng bậc thang của $A$ . Cho $b\in\mathbb{R}^m$ , ta có thể thực hiện phép khử Gauss trên ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ để thu được ma trận mở rộng $\begin{bmatrix}U&\mathbf{d}\\\end{bmatrix}$ với một số $d\in\mathbb{R}^m$ .

$\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}\sim\cdots\sim\begin{bmatrix}U&\mathbf{d}\\\end{bmatrix}$

Nếu mệnh đề (d) đúng, thì mỗi hàng của $U$ chứa một vị trí pivot, và sẽ không có pivot nào trong cột mở rộng. Do đó, hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ luôn có nghiệm với mọi $\mathbf{b}$ , tức là (a) đúng.

Nếu (d) sai, thì hàng cuối cùng của $U$ toàn là 0. Gọi $\mathbf{d}$ là một vector bất kỳ có phần tử cuối cùng bằng 1. Khi đó, $\begin{bmatrix}U&\mathbf{d}\\\end{bmatrix}$ biểu diễn một hệ phương trình vô nghiệm.

Do các phép biến đổi hàng là khả nghịch, ta có thể biến đổi $\begin{bmatrix}U&\mathbf{d}\\\end{bmatrix}$ . Hệ phương trình mới $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ cũng vô nghiệm, do đó (a) sai.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 17: Tính toán tích Ax

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy