Bài giảng 19: Các nghiệm của hệ phương trình phi đồng nhất

Khi một hệ phương trình tuyến tính phi đồng nhất có nhiều nghiệm, nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng tham số vectơ như một vectơ cụ thể cộng với tổ hợp tuyến tính tùy ý của các vectơ nghiệm của hệ đồng nhất tương ứng.

Ví dụ 3: Mô tả tất cả các nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , trong đó

$A=\begin{bmatrix}3&5&-4\\-3&-2&4\\6&1&-8\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}7\\-1\\-4\end{bmatrix}$

Giải: Ở đây, $A$ là ma trận hệ số từ ví dụ 1 ở bài trước. Biến đổi hàng trên ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}A&\mathbf{b}\\\end{bmatrix}$ cho ta

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}3&5&-4&7\\-3&-2&4&-1\\6&1&-8&-4\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&-\frac{4}{3}&-1\\0&1&0&2\\0&0&0&0\\\end{bmatrix},&\quad\begin{matrix}x_{1}\quad-\frac{4}{3}x_{3}&=-1\\\quad x_{2}\quad\quad&=2\\\qquad 0&=0\end{matrix}\\\end{matrix}$

Vậy, $x_{1}=-1+\frac{4}{3}x_{3}$ , $x_{2}=2$ và $x_{3}$ là biến tự do. Dưới dạng vectơ, nghiệm tổng quát của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có dạng

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1-\frac{4}{3}x_{3}\\2\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{4}{3}x_{3}\\0\\x_{3}\end{bmatrix}$

Phương trình $\mathbf{x}=\mathbf{p}+x_{3}\mathbf{v}$ hoặc viết t làm tham số tổng quát,

(3) $\begin{equation*}\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}\quad(t\in\mathbb{R})\end{equation*}$

mô tả tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ dưới dạng tham số vectơ. Nhớ lại từ ví dụ ở bài trước ta thấy rằng tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có phương trình tham số vectơ:

(4) $\begin{equation*}\mathbf{x}=t\mathbf{v}\quad(t\in\mathbb{R})\end{equation*}$

(với cùng v xuất hiện trong (3)).

Vậy, nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ thu được bằng cách cộng vectơ $\mathbf{p}$ vào nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Vectơ $\mathbf{p}$ chính là một nghiệm cụ thể của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (tương ứng với t=0 trong (3)).

Để mô tả tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ về mặt hình học, ta có thể xem phép cộng vectơ như một phép tịnh tiến. Với hai vectơ $\mathbf{v}$ và $\mathbf{p}$ trong $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ , khi cộng $\mathbf{p}$ vào $\mathbf{v}$ , ta sẽ tịnh tiến $\mathbf{v}$ theo hướng song song với đường thẳng đi qua $\mathbf{p}$ và gốc tọa độ. Khi đó, ta nói rằng $\mathbf{v}$ được tịnh tiến bởi $\mathbf{p}$ để tạo ra $\mathbf{v}+\mathbf{p}$ . Xem hình 3.

Nếu mỗi điểm trên một đường thẳng $L$ trong $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ được tịnh tiến bởi một vectơ $\mathbf{p}$ , kết quả là một đường thẳng song song với $L$ . Xem hình 4.

Giả sử L là đường thẳng đi qua 0 và v, được mô tả bởi phương trình (4). Khi cộng p vào từng điểm trên L, ta thu được đường thẳng tịnh tiến mô tả bởi phương trình (3). Lưu ý rằng pp nằm trên đường thẳng trong phương trình (3). Ta gọi (3) là phương trình của đường thẳng đi qua p song song với v. Vậy, tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ là đường thẳng đi qua p song song với tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Hình 5 minh họa trường hợp này.

**Hình 5:** Tập nghiệm song song của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .

Mối quan hệ giữa tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ được minh họa trong hình 5 có thể tổng quát cho bất kỳ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ nào có nghiệm, mặc dù tập nghiệm sẽ lớn hơn một đường thẳng khi có nhiều biến tự do. Định lý sau đây phát biểu chính xác điều này.

Định lý 6
Giả sử phương trình Ax=b có nghiệm cho một giá trị b nhất định, và gọi p là một nghiệm. Khi đó, tập nghiệm của Ax=b là tập hợp tất cả các vectơ có dạng , trong đó  là bất kỳ nghiệm nào của phương trình đồng nhất Ax=0.

Hệ quả: Định lý 6 phát biểu rằng nếu $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có nghiệm, thì tập nghiệm của nó thu được bằng cách tịnh tiến tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ bởi bất kỳ nghiệm cụ thể nào p của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Hình 6 minh họa trường hợp có hai biến tự do.

**Hình 6:** Tập nghiệm song song của $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ và $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

Lưu ý quan trọng: Định lý 6 và hình 6 chỉ áp dụng cho phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ có ít nhất một nghiệm p khác 0. Khi $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ vô nghiệm, tập nghiệm là rỗng.

Viết tập nghiệm của hệ phương trình có nghiệm dưới dạng tham số vectơ
1. Biến đổi ma trận bổ sung về dạng bậc thang rút gọn.
2. Biểu diễn mỗi biến cơ bản theo các biến tự do xuất hiện trong hệ phương trình.
3. Viết một nghiệm tổng quát xx dưới dạng một vectơ với các thành phần phụ thuộc vào các biến tự do (nếu có).
4. Phân tách x thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ (có hệ số cụ thể) sử dụng các biến tự do làm tham số.

Câu trả lời hợp lý: Để xác minh rằng các nghiệm bạn tìm được thực sự là nghiệm của phương trình thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , chỉ cần nhân ma trận với từng vector trong nghiệm của bạn và kiểm tra xem kết quả có phải là vector không hay không. Ví dụ, nếu $A=\begin{bmatrix}1&-2&1&2\\1&-1&2&5\\0&1&1&3\\\end{bmatrix}$ và bạn tìm thấy nghiệm của hệ phương trình đồng nhất dưới dạng $x_{3}\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}$ , thì kiểm tra rằng $\begin{bmatrix}1&-2&1&2\\1&-1&2&5\\0&1&1&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}1&-2&1&2\\1&-1&2&5\\0&1&1&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ . Khi đó $A\mathbf{\begin{pmatrix}x_{3}\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}\end{pmatrix}}=x_{3}A\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}A\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}$ , tương đương với $x_{3}\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ như mong đợi.

Nếu bạn đang giải $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , thì bạn có thể kiểm tra lại rằng mình đã tìm đúng nghiệm bằng cách nhân ma trận $A$ với từng vector trong nghiệm của bạn. Tích của $A$ với vector đầu tiên (vector không thuộc nghiệm của phương trình thuần nhất) phải bằng $\mathbf{b}$ . Tích của $A$ với các vector còn lại (những vector thuộc nghiệm của phương trình thuần nhất) tất nhiên phải bằng $\mathbf{0}$ .

Ví dụ, để kiểm tra rằng $\begin{bmatrix}2\\1\\1\\2\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}-8\\-3\\1\\0\end{bmatrix}$ là nghiệm của $A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}5\\13\\8\end{bmatrix}$ , hãy kiểm tra $\begin{bmatrix}1&-2&1&2\\1&-1&2&5\\0&1&1&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\\1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\13\\8\end{bmatrix}$ và sử dụng các phép tính ở trên. Lưu ý rằng $A\left(\begin{bmatrix}2\\1\\1\\2\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}\right)=A\begin{bmatrix}2\\1\\1\\2\end{bmatrix}+x_{3}A\begin{bmatrix}-3\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+x_{4}A\begin{bmatrix}-8\\-3\\0\\1\end{bmatrix}$ , điều này bằng $\begin{bmatrix}5\\13\\8\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}+x_{4}\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\13\\8\end{bmatrix}$ , như mong muốn.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 19: Các nghiệm của hệ phương trình phi đồng nhất

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy