Bài giảng 18: Tập Nghiệm của Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một đối tượng quan trọng trong đại số tuyến tính. Chúng sẽ xuất hiện trong nhiều bối cảnh khác nhau về sau. Phần này chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu vectơ để đưa ra các mô tả rõ ràng và trực quan về các tập nghiệm như vậy.

Hệ Phương Trình Tuyến Tính Đồng Nhất

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là đồng nhất nếu có thể viết dưới dạng $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , trong đó $A$ là một ma trận kích thước $m\times n$ và $\mathbf{0}$ là vectơ không trong $\mathbb{R}^m$ . Hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ luôn có ít nhất một nghiệm, đó là nghiệm tầm thường $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ (vectơ không trong $\mathbb{R}^n$ ). Câu hỏi quan trọng đối với phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ là liệu có tồn tại nghiệm không tầm thường, tức là một vectơ $x\neq 0$ thỏa mãn $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Định lý Tồn Tại và Duy Nhất trong bài trước (Định lý 2) dẫn đến kết luận quan trọng sau:

Phương trình đồng nhất  có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu phương trình có ít nhất một biến tự do.

Ví dụ 1: Xác định xem hệ phương trình đồng nhất sau có nghiệm không tầm thường hay không. Sau đó mô tả tập nghiệm của nó.

$\begin{aligned}3x_1+5x_2-4x_3&=0\\-3x_1-2x_2+4x_3&=0\\6x_1+x_2-8x_3&=0\end{aligned}$

Giải: Gọi $A$ là ma trận hệ số của hệ phương trình và thực hiện khử Gauss trên ma trận bổ sung $\begin{bmatrix}A&\mathbf{0}\\\end{bmatrix}$ để đưa về dạng bậc thang:

$\begin{bmatrix}3&5&-4&0\\-3&-2&4&0\\6&1&-8&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}3&5&-4&0\\0&3&0&0\\0&-9&0&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}3&5&-4&0\\0&3&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Vì $x_3$ là biến tự do, hệ phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có nghiệm không tầm thường (ứng với mỗi giá trị khác 0 của $x_3$ ). Để mô tả tập nghiệm, tiếp tục đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn:

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}1&0&-\frac{4}{3}&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}&\quad\begin{aligned}x_{1}\quad-\frac{4}{3}x_{3}&=0\\\qquad x_{2}\qquad&=0\\0&=0\end{aligned}\\\end{matrix}$

Giải hệ để biểu diễn các biến cơ bản $x_1$ và $x_2$ và thu được $x_1=\frac{4}{3}x_3$ , $x_2=0$ theo biến tự do $x_3$ .

Dưới dạng vectơ, nghiệm tổng quát của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có dạng:

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{3}\\0\\x_{3}\end{bmatrix}=x_{3}\begin{bmatrix}\frac{4}{3}\\0\\1\end{bmatrix}=x_{3}\mathbf{v},\quad(\mathbf{v}=\begin{bmatrix}\frac{4}{3}\\0\\1\end{bmatrix})$

Ở đây, $x_3$ được tách ra khỏi biểu thức của vectơ nghiệm tổng quát. Điều này cho thấy mọi nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ trong trường hợp này là bội vô hướng của v. Nghiệm tầm thường thu được khi chọn $x_3=0$ . Về mặt hình học, tập nghiệm là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong không gian $\mathbb{R}^3$ . Xem Hình 1.

Lưu ý rằng một nghiệm không tầm thường có thể chứa một số thành phần bằng 0, miễn là không phải tất cả thành phần đều bằng 0.

Ví dụ 2: Một phương trình tuyến tính đơn lẻ có thể được coi là một hệ phương trình rất đơn giản. Hãy mô tả tất cả các nghiệm của hệ phương trình đồng nhất sau:

(1) $\begin{equation*}\begin{aligned}10x_1-3x_2-2x_3&=0\\\end{aligned}\end{equation*}$

Giải: Không cần sử dụng ký hiệu ma trận. Giải phương trình theo biến cơ bản $x_1$ dưới dạng các biến tự do. Nghiệm tổng quát là $x_1=.3x_2+.2x_3$ , với $x_2$ và $x_3$ là các biến tự do. Dưới dạng vector, nghiệm tổng quát là

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cdot 3x_{2}+\cdot 2x_{3}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cdot 3x_{2}\\x_{2}\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cdot 2x_{3}\\0\\x_{3}\end{bmatrix}$

Phép tính này cho thấy rằng mọi nghiệm của (1) là một tổ hợp tuyến tính của các vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ , được biểu diễn trong (2). Nghĩa là, tập nghiệm là Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ . Vì không có vector nào trong hai vector $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ là bội vô hướng của vector kia, nên tập nghiệm là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Xem Hình 2.

Ví dụ 1 và 2 minh họa rằng tập nghiệm của phương trình thuần nhất $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ luôn có thể được biểu diễn rõ ràng dưới dạng Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\end{Bmatrix}$ với các vector $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ thích hợp. Nếu nghiệm duy nhất là vector không, thì tập nghiệm là Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{0}\end{Bmatrix}$ . Nếu phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có một biến tự do, tập nghiệm sẽ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, như trong Hình 1. Một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, như trong Hình 2, cung cấp một hình ảnh trực quan tốt cho tập nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ khi có hai hoặc nhiều biến tự do. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một hình ảnh tương tự cũng có thể được sử dụng để trực quan hóa Span $\begin{Bmatrix}\mathbf{u},\,\mathbf{v}\end{Bmatrix}$ ngay cả khi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ không xuất phát từ các nghiệm của $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ .

Dạng Vectơ Tham Số

Phương trình ban đầu (1) xác định mặt phẳng trong Ví dụ 2 theo một cách ngầm ẩn. Giải phương trình này tương đương với việc tìm một cách mô tả tường minh của mặt phẳng dưới dạng không gian con sinh bởi $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ . Phương trình (2) được gọi là phương trình vectơ tham số của mặt phẳng. Đôi khi, phương trình này được viết lại dưới dạng

$\mathbf{x}=s\mathbf{u}+t\mathbf{v}\quad(s,t\in\mathbb{R})$

để nhấn mạnh rằng các tham số có thể nhận mọi giá trị thực. Trong Ví dụ 1, phương trình $\mathbf{x}=x_3\mathbf{v}$ (với $x_3$ tự do), hay tương đương $\mathbf{x}=t\mathbf{v}$ (với $t\in\mathbb{R}$ ), là phương trình vectơ tham số của một đường thẳng.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 18: Tập Nghiệm của Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy