Bài giảng 22: Độc lập tuyến tính

Các phương trình thuần nhất trong bài trước có thể được nghiên cứu từ một góc độ khác bằng cách viết chúng dưới dạng phương trình vectơ. Theo cách này, trọng tâm chuyển từ các nghiệm chưa biết của $A\mathbf{x}=0$ sang các vectơ xuất hiện trong các phương trình vectơ.

Ví dụ, hãy xét phương trình

(1) $\begin{equation*}x_{1}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{equation*}$

Định nghĩa
Một tập hợp có chỉ mục các vectơ $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ trong $\mathbb{R}^n$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình vectơ
$x_{1}\mathbf{v_{1}}+x_{2}\mathbf{v_{2}}+\cdots+x_{p}\mathbf{v_{p}}=0$
chỉ có nghiệm tầm thường. Tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hệ số $c_1,\dots,c_p$ , , không phải tất cả đều bằng 0, sao cho

(2) $\begin{equation*}c_{1}\mathbf{v_{1}}+c_{2}\mathbf{v_{2}}+\cdots+c_{p}\mathbf{v_{p}}=0\end{equation*}$

Phương trình (2) được gọi là một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các vectơ $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ khi các hệ số không bằng 0. Một tập hợp có chỉ mục là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi nó không độc lập tuyến tính. Để đơn giản, ta có thể nói rằng $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p$ là phụ thuộc tuyến tính khi có nghĩa là tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}$ là phụ thuộc tuyến tính. Ta sử dụng thuật ngữ tương tự đối với tập hợp độc lập tuyến tính.

Ví dụ 1: Cho $\mathbf{v_{1}}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\,\mathbf{v_{2}}=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$ và $\mathbf{v_{3}}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}$ .

a. Xác định xem tập hợp $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}$ có độc lập tuyến tính hay không.

b. Nếu có thể, hãy tìm một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ .

Giải:

a) Ta phải xác định xem có tồn tại nghiệm không tầm thường của phương trình (1) hay không. Thực hiện các phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung tương ứng cho thấy rằng

$\begin{bmatrix}1&4&2&0\\2&5&1&0\\3&6&0&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&4&2&0\\0&-3&-3&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}$

Rõ ràng, $x_1$ và $x_2$ là biến cơ bản, còn $x_3$ là biến tự do. Mỗi giá trị khác không của $x_3$ xác định một nghiệm không tầm thường của (1). Do đó, $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ là phụ thuộc tuyến tính (và không độc lập tuyến tính).

b) Để tìm một quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ , ta rút gọn hoàn toàn ma trận bổ sung và viết lại hệ phương trình mới:

$\begin{matrix}\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}&\quad\begin{matrix}x_{1}\quad-2x_{3}&=0\\\qquad x_{2}+x_{3}&=0\\\qquad\qquad 0&=0\\\end{matrix}\end{matrix}$

Do đó, $x_1=2x_3$ , $x_2=-x_3$ và $x_3$ là biến tự do. Chọn một giá trị khác không bất kỳ cho $x_3$ , chẳng hạn $x_3=5$ . Khi đó, $x_1=10$ và $x_2=-5$ . Thay các giá trị này vào phương trình (1) và ta được

$10\mathbf{v_{1}}-5\mathbf{v_{2}}+5\mathbf{v_{3}}=0$

Đây là một trong vô số quan hệ phụ thuộc tuyến tính có thể có giữa $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ và $\mathbf{v}_3$ .

Sự Độc Lập Tuyến Tính của Các Cột Ma Trận

Giả sử rằng ta bắt đầu với một ma trận $A=[\mathbf{a}_1\quad\dots\quad\mathbf{a}_n]$ thay vì một tập hợp các vectơ. Phương trình ma trận $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ có thể được viết dưới dạng

$x_{1}\mathbf{a_{1}}+x_{2}\mathbf{a_{2}}+\cdots+x_{n}\mathbf{a_{n}}=\mathbf{0}$

Mỗi quan hệ phụ thuộc tuyến tính giữa các cột của $A$ tương ứng với một nghiệm không tầm thường của phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Do đó, ta có kết luận quan trọng sau:

Các cột của một ma trận  là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình  chỉ có nghiệm tầm thường.

Ví dụ 2: Xác định xem các cột của ma trận $A=\begin{bmatrix}0&1&4\\1&2&-1\\5&8&0\\\end{bmatrix}$ có độc lập tuyến tính hay không.

Giải: Để nghiên cứu phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ , ta thực hiện phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung:

$\begin{bmatrix}0&1&4&0\\1&2&-1&0\\5&8&0&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&-1&0\\0&1&4&0\\0&-2&5&0\\\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&-1&0\\0&1&4&0\\0&0&13&0\\\end{bmatrix}$

Tại điểm này, rõ ràng rằng có ba biến cơ bản và không có biến tự do. Do đó, phương trình $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ chỉ có nghiệm tầm thường, và các cột của $A$ là độc lập tuyến tính.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 22: Độc lập tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy