Bài giảng 20: Ứng dụng của Hệ phương trình Tuyến tính

Bạn có thể mong đợi rằng một bài toán thực tế liên quan đến đại số tuyến tính chỉ có một nghiệm hoặc có thể không có nghiệm nào. Mục đích của phần này là để chỉ ra cách mà các hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm có thể xuất hiện một cách tự nhiên. Các ứng dụng trong phần này đến từ kinh tế học, hóa học và dòng chảy trong mạng lưới.

Hệ phương trình thuần nhất trong Kinh tế học

Hệ phương trình gồm 500 phương trình với 500 ẩn số, được đề cập trong phần giới thiệu của chương này, hiện được biết đến như một mô hình “đầu vào – đầu ra” (hoặc “sản xuất”) của Leontief. Chúng ta xem xét một mô hình “trao đổi” đơn giản, do Leontief đề xuất.

Giả sử nền kinh tế của một quốc gia được chia thành nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như các ngành sản xuất khác nhau, truyền thông, giải trí và dịch vụ. Giả sử rằng đối với mỗi lĩnh vực, chúng ta biết tổng sản lượng hàng năm của nó và biết chính xác sản lượng này được phân chia hoặc “trao đổi” như thế nào giữa các lĩnh vực khác trong nền kinh tế. Gọi tổng giá trị tiền tệ của sản lượng một lĩnh vực là giá của sản lượng đó. Leontief đã chứng minh kết quả sau:

Tồn tại các mức giá cân bằng có thể được gán cho tổng sản lượng của các lĩnh vực khác nhau sao cho thu nhập của mỗi lĩnh vực cân bằng chính xác với chi tiêu của nó.

Ví dụ sau đây cho thấy cách tìm các mức giá cân bằng.

Ví dụ 1: Giả sử một nền kinh tế bao gồm ba lĩnh vực: Than, Điện (năng lượng) và Thép, và sản lượng của mỗi lĩnh vực được phân phối giữa các lĩnh vực khác nhau như trong Bảng 1, trong đó các phần tử trong mỗi cột biểu diễn phần trăm sản lượng của một lĩnh vực được phân bổ. Ví dụ, cột thứ hai của Bảng 1 cho biết rằng tổng sản lượng của lĩnh vực Điện được phân bổ như sau: 40% cho Than, 50% cho Thép, và 10% còn lại cho chính ngành Điện. (Ngành Điện coi 10% này là chi phí vận hành của chính nó.) Vì toàn bộ sản lượng phải được tính đến, nên tổng các phần thập phân trong mỗi cột phải bằng 1.

Ký hiệu giá trị (tính bằng đơn vị tiền tệ) của tổng sản lượng hàng năm của các lĩnh vực Than, Điện và Thép lần lượt là và . Nếu có thể, hãy tìm các mức giá cân bằng sao cho thu nhập của mỗi lĩnh vực khớp với chi tiêu của nó.

Giải: Mỗi lĩnh vực sẽ xem cột của nó để biết sản lượng của mình đi đâu và xem hàng của nó để biết những gì cần thiết làm đầu vào.

Ví dụ, hàng đầu tiên của Bảng 1 cho biết ngành Than nhận (và phải trả tiền cho) 40% sản lượng của ngành Điện và 60% sản lượng của ngành Thép. Vì giá trị tương ứng của tổng sản lượng là và , ngành Than phải chi cho phần sản lượng của Điện và cho phần sản lượng của Thép. Do đó, tổng chi tiêu của ngành Than là . Để thu nhập của ngành Than, tức là , bằng với chi tiêu của nó, ta cần có phương trình:

(1)  

Tương tự, hàng thứ hai của bảng trao đổi cho thấy rằng ngành Điện chi tiêu cho than, cho điện và cho thép. Do đó, phương trình thu nhập/chi tiêu cho ngành Điện là:

(2)  

Cuối cùng, hàng thứ ba của bảng trao đổi dẫn đến yêu cầu cuối cùng:

(3)  

Để giải hệ phương trình (1), (2), và (3), ta chuyển tất cả các ẩn số về phía trái của phương trình và gộp các số hạng tương tự. Ví dụ, ở vế trái của (2), hãy viết thành .

Tiếp theo là giảm hàng. Để đơn giản, số thập phân ta làm tròn đến hai chữ số.

Nghiệm tổng quát là , và là tự do. Vector giá cân bằng cho nền kinh tế có dạng

Bất kỳ giá trị (không âm) nào của sẽ cho ta một tập hợp các mức giá cân bằng. Ví dụ, nếu chọn (tức là 100 triệu đô la), thì và . Khi đó, thu nhập và chi tiêu của mỗi lĩnh vực sẽ cân bằng nếu giá của sản lượng ngành Than là 94 triệu đô la, ngành Điện là 85 triệu đô la, và ngành Thép là 100 triệu đô la.