Bài giảng 5: Câu hỏi về sự tồn tại và tính duy nhất

Bài sau sẽ chỉ ra lý do tại sao tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính hoặc là không có nghiệm, hoặc có một nghiệm duy nhất, hoặc có vô số nghiệm. Câu trả lời cho hai câu hỏi sau sẽ xác định bản chất của tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính.

Để xác định trường hợp nào đúng đối với một hệ cụ thể, chúng ta đặt ra hai câu hỏi:

Hai câu hỏi cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

Hệ có khả nghịch không, tức là có ít nhất một nghiệm tồn tại không?
Nếu có nghiệm, thì nghiệm đó có duy nhất không?

Hai câu hỏi này sẽ xuất hiện xuyên suốt trong tài liệu dưới nhiều hình thức khác nhau. Bài này và bài tiếp theo sẽ hướng dẫn cách trả lời chúng thông qua các phép biến đổi hàng trên ma trận mở rộng.

VÍ DỤ 2: Xác định xem hệ phương trình sau có khả nghịch không?

$\begin{matrix}\;x_1-2x_2+x_3=0\\\qquad\;2x_2-8x_3=8\\5x_1\quad-\quad 5x_3=10\end{matrix}$

Giải: Đây là hệ phương trình từ ví dụ 1. Giả sử chúng ta đã thực hiện các phép biến đổi hàng cần thiết để đưa hệ phương trình về dạng tam giác:

$\begin{matrix}\begin{matrix}\;x_1-2x_2+x_3=0\\\qquad\;2x_2-8x_3=8\\5x_1\quad-\quad 5x_3=10\end{matrix}\qquad&\begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-4&4\\0&0&1&-1\\\end{bmatrix}\\\end{matrix}$

Tại điểm này, chúng ta đã biết giá trị của $x_3$ . Nếu thay giá trị của $x_3$ vào phương trình thứ hai, ta có thể tính được $x_2$ , từ đó suy ra $x_1$ từ phương trình thứ nhất. Do đó, một nghiệm tồn tại, nghĩa là hệ có nghiệm (hệ có khả nghịch).

(Thực tế, $x_2$ được xác định duy nhất bởi phương trình thứ hai vì $x_3$ chỉ có một giá trị duy nhất, từ đó $x_1$ cũng được xác định duy nhất từ phương trình thứ nhất. Vì vậy, nghiệm của hệ là duy nhất.)

Ví dụ 3: Xác định xem hệ phương trình sau có khả nghịch không?

$\begin{matrix}\;\qquad x_2-4x_3=8\\2x_1-3x_2+2x_3=1\\4x_1-8x_2+12x_3=1\end{matrix}$ (5)

Giải: Ma trận mở rộng của hệ phương trình là:

$\begin{bmatrix}0&1&-4&8\\2&-3&2&1\\4&-8&12&1\\\end{bmatrix}$

Để có $x_1$ trong phương trình đầu tiên, ta hoán vị hàng 1 và hàng 2:

$\begin{bmatrix}2&-3&2&1\\0&1&-4&8\\4&-8&12&1\\\end{bmatrix}$

Tiếp theo, để loại bỏ hệ số $4x_1$ trong phương trình thứ ba, ta cộng -2 lần hàng 1 vào hàng 3:

$\begin{bmatrix}2&-3&2&1\\0&1&-4&8\\0&-2&8&-1\\\end{bmatrix}$ (6)

Tiếp theo, sử dụng số hạng $x_2$ trong phương trình thứ hai để khử số hạng $-2x_2$ trong phương trình thứ ba. Cộng 2 lần hàng 2 vào hàng 3.

$\begin{bmatrix}2&-3&2&1\\0&1&-4&8\\0&0&0&15\\\end{bmatrix}$ (7)

Giờ đây, ma trận mở rộng đã ở dạng tam giác. Chuyển về dạng phương trình tương ứng:

$\begin{matrix}2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1\\\qquad\;x_{2}-\;4x_{3}=8\\\qquad\qquad 0=15\end{matrix}$ (8)

Phương trình 0=15 là dạng rút gọn của $0x_1+0x_2+0x_3=15$ . Hệ phương trình ở dạng tam giác này rõ ràng có mâu thuẫn nội tại. Không tồn tại giá trị nào của $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn (8) vì phương trình 0=15 không bao giờ đúng. Vì (8) và (5) có cùng tập nghiệm, nên hệ phương trình ban đầu là vô nghiệm (không có nghiệm).

Hãy chú ý đến ma trận mở rộng trong (7). Hàng cuối cùng của nó là dạng điển hình của một hệ phương trình vô nghiệm ở dạng tam giác.

Đáp Án Hợp Lý

Khi bạn tìm được một hoặc nhiều nghiệm của hệ phương trình, hãy nhớ kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình ban đầu. Ví dụ, nếu bạn tìm thấy (2, 1, -1) là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=2\\x_{1}\quad-\quad\;2x_{3}=-2\\\qquad x_{2}+x_{3}=3\end{matrix}$

Bạn có thể thay nghiệm vào các phương trình ban đầu:

$\begin{matrix}2-2(1)+(-1)=-1\neq 2\\2\quad-\quad\;2(-1)=4\neq-2\\\qquad 1+(-1)=0\neq 3\end{matrix}$

Điều này cho thấy đã có lỗi trong tính toán ban đầu. Nếu sau khi kiểm tra lại, bạn tìm được nghiệm đúng là (2, 1, 2), bạn có thể xác minh như sau:

$\begin{matrix}2-2(1)+(2)=2=2\\2\quad-\quad 2(-2)=-2=-2\\\qquad 1+2=3=3\end{matrix}$

Như vậy, bạn có thể tự tin rằng nghiệm của hệ phương trình là chính xác.

Ghi Chú Số Học

Trong các bài toán thực tế, hệ phương trình tuyến tính thường được giải bằng máy tính. Đối với ma trận hệ số vuông, các chương trình máy tính gần như luôn sử dụng thuật toán khử Gauss được trình bày ở đây và trong Mục 1.2, với một số điều chỉnh để cải thiện độ chính xác.

Hầu hết các bài toán đại số tuyến tính trong kinh doanh và công nghiệp đều được giải bằng các chương trình sử dụng số học dấu chấm động. Các số được biểu diễn dưới dạng $\pm.d_{1}\cdots d_{p}\times 10^{r}$ trong đó r là một số nguyên và số chữ số pp bên phải dấu thập phân thường nằm trong khoảng từ 8 đến 16. Do đó, các phép tính với những số này thường không hoàn toàn chính xác vì kết quả phải được làm tròn (hoặc cắt bớt) để phù hợp với số chữ số lưu trữ. Lỗi làm tròn cũng xảy ra khi nhập một số như $\frac{1}{3}$ vào máy tính, vì dạng thập phân của nó phải được xấp xỉ bằng một số chữ số hữu hạn.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 5: Câu hỏi về sự tồn tại và tính duy nhất

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy