Bài giảng 31: Phương trình sai phân
Trong nhiều lĩnh vực như sinh thái học, kinh tế học và kỹ thuật, nhu cầu xuất hiện để mô hình hóa toán học một hệ thống động thay đổi theo thời gian. Một số đặc điểm của hệ thống được đo lường tại các khoảng thời gian rời rạc, tạo ra một dãy các vectơ 
. Các phần tử trong 
cung cấp thông tin về trạng thái của hệ thống tại thời điểm đo thứ 
.
Nếu tồn tại một ma trận 
sao cho 
và nói chung
(5) 
thì phương trình này được gọi là phương trình sai phân tuyến tính (hay quan hệ truy hồi). Với một phương trình như vậy, ta có thể tính 
, và các giá trị tiếp theo, với điều kiện đã biết 
. Phần thảo luận dưới đây minh họa cách một phương trình sai phân có thể xuất hiện.
Một chủ đề được các nhà nhân khẩu học quan tâm là sự di chuyển của dân số hoặc các nhóm người từ khu vực này sang khu vực khác. Mô hình đơn giản ở đây xem xét sự thay đổi dân số của một thành phố nhất định và vùng ngoại ô xung quanh nó trong một khoảng thời gian nhiều năm.
Giả sử chọn một năm ban đầu – chẳng hạn năm 2020 – và ký hiệu dân số của thành phố và vùng ngoại ô năm đó lần lượt là 
và 
. Gọi 
là vectơ dân số:
Với năm 2021 và các năm tiếp theo, ký hiệu dân số của thành phố và vùng ngoại ô bằng các vectơ tương ứng. Mục tiêu của chúng ta là mô tả toán học cách các vectơ này có thể liên kết với nhau.
Giả sử các nghiên cứu nhân khẩu học chỉ ra rằng mỗi năm có khoảng 5% dân số thành phố di chuyển đến vùng ngoại ô (và 95% vẫn ở lại thành phố), trong khi 3% dân số vùng ngoại ô di chuyển đến thành phố (và 97% vẫn ở lại vùng ngoại ô). Xem Hình 2.
Các vectơ trong (6) và (7) bao gồm toàn bộ dân số năm 2021. Do đó,
Nghĩa là
(8) 
trong đó 
là ma trận di cư được xác định bởi bảng sau:
Phương trình (8) mô tả cách dân số thay đổi từ năm 2020 đến năm 2021. Nếu tỷ lệ di cư không đổi, thì sự thay đổi từ năm 2021 đến năm 2022 được cho bởi
và tương tự cho các năm tiếp theo. Tổng quát, ta có:
(9) 
Dãy vectơ 
mô tả dân số của khu vực thành phố và vùng ngoại ô theo thời gian.
Ví dụ 3: Tính toán dân số của khu vực vừa mô tả cho các năm 2021 và 2022, biết rằng dân số năm 2020 là 600.000 người ở thành phố và 400.000 người ở vùng ngoại ô.
Giải: Dân số ban đầu năm 2020 là 
.
Năm 2021, 
.
Năm 2022, 
.
Mô hình di chuyển dân số trong phương trình (9) là tuyến tính, vì phép tương ứng 
là một phép biến đổi tuyến tính.
Tính tuyến tính này phụ thuộc vào hai yếu tố:
- Số người di chuyển từ khu vực này sang khu vực khác tỷ lệ thuận với số người ở khu vực đó, như thể hiện trong phương trình (6) và (7).
- Tổng hiệu ứng của các lựa chọn di cư được tính bằng cách cộng dồn số người di chuyển từ các khu vực khác nhau.
Chúc mừng bạn đã học xong Phần 1. Phương Trình tuyến tính trong đại số tuyến tính. Tiếp theo là phần 2. Đại số ma trận. Bạn Click đây>>