Bài giảng 2: Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Một phương trình tuyến tính với các biến $x_1,x_2,...,x_n$ là một phương trình có thể được viết dưới dạng:

$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$ (1)

trong đó b và các hệ số $a_1,a_2,...,a_n$ là các số thực hoặc phức, thường được biết trước. Chỉ số n có thể là bất kỳ số nguyên dương nào. Trong các ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa, n thường nằm trong khoảng từ 2 đến 5. Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế, n có thể là 50, 5000, hoặc thậm chí lớn hơn.

Ví dụ, các phương trình sau đây:

$4x_1-5x_2+2=x_1$ và $x_2=2-\sqrt{6}-x_1+x_3$

đều là phương trình tuyến tính vì chúng có thể được sắp xếp lại theo dạng (1):

$3x_1-5x_2=-2$ và $2x_1+x_2-x_3=2\sqrt{6}$

Ngược lại, các phương trình chứa $x_1x_2$ hoặc $\sqrt{x_1}$ không phải là phương trình tuyến tính.

Một hệ phương trình tuyến tính (hay còn gọi là hệ tuyến tính) là một tập hợp một hoặc nhiều phương trình tuyến tính có cùng các biến—giả sử là $x_1,x_2,...,x_n$ . Ví dụ:

$\begin{matrix}2x_1-x_2+1.5x_3=8\\x_1\quad-\quad 4x_3=-7\end{matrix}$ (2)

Một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị $(s_1,s_2,...,s_n)$ sao cho khi thay các giá trị đó vào phương trình, ta thu được các đẳng thức đúng. Ví dụ, bộ giá trị (5, 6.5, 3) là một nghiệm của hệ phương trình trên vì khi thay vào, ta có 8 = 8 và -7 = -7.

Tập nghiệm của hệ phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm có thể có. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Điều đó có nghĩa là mỗi nghiệm của hệ thứ nhất cũng là nghiệm của hệ thứ hai và ngược lại.

Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Việc tìm nghiệm của một hệ hai phương trình với hai biến thực chất là tìm giao điểm của hai đường thẳng. Ví dụ:

$x_1-2x_2=-1$

$-x_1+3x_2=3$

Các phương trình này biểu diễn hai đường thẳng $l_1$ và $l_2$ . Một cặp số $(x_1,x_2)$ là nghiệm của hệ nếu và chỉ nếu điểm $(x_1,x_2)$ nằm trên cả hai đường thẳng đó. Trong trường hợp này, nghiệm duy nhất là (3, 2), có thể dễ dàng kiểm tra. Xem hình 1:

Tuy nhiên, hai đường thẳng có thể có ba tình huống khác nhau:

Cắt nhau tại một điểm duy nhất → hệ có một nghiệm duy nhất.
Song song, không có điểm chung → hệ vô nghiệm.
Trùng nhau hoàn toàn → hệ có vô số nghiệm.

Các trường hợp này có thể được minh họa qua các hệ phương trình sau:

$\begin{matrix}a)x_1-2x_2=-1\qquad&b)x_1-2x_2=-1\\-x_1+2x_2=3\qquad&-x_1+2x_2=1\\\end{matrix}$

Hình 1 và Hình 2 minh họa thực tế tổng quát sau đây về hệ phương trình tuyến tính, sẽ được xác minh trong Mục 1.2.

Hình 2: (a) Không có nghiệm. (b) Vô số nghiệm.

Kết Luận: Một hệ phương trình tuyến tính có thể rơi vào một trong ba trường hợp:

Không có nghiệm (hệ vô nghiệm).
Có duy nhất một nghiệm.
Có vô số nghiệm.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là hệ có nghiệm (hay hệ khả nghiệm) nếu nó có ít nhất một nghiệm (tức là một nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm). Nếu hệ không có nghiệm, nó được gọi là hệ vô nghiệm (hay hệ bất khả nghiệm).

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2: Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy