Bài giảng 27: Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính

Bất cứ khi nào một phép biến đổi tuyến tính $T$ xuất hiện dưới dạng hình học hoặc được mô tả bằng lời, chúng ta thường muốn tìm một “công thức” cho $T(\mathbf{x})$ . Phần thảo luận dưới đây cho thấy rằng mọi phép biến đổi tuyến tính từ $\mathbb{R}^n$ đến $\mathbb{R}^m$ thực chất là một phép biến đổi ma trận $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ , và các tính chất quan trọng của $T$ có liên quan mật thiết đến các tính chất quen thuộc của $A$ .

Điểm mấu chốt để tìm $A$ là quan sát rằng $T$ được xác định hoàn toàn bởi cách nó biến đổi các cột của ma trận đơn $n\times n$ , ký hiệu là $I_n$ .

Ví dụ 1: Các cột của $I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$ là $\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}$ và $\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}$ . Giả sử $T$ là một phép biến đổi tuyến tính từ $\mathbb{R}^2$ vào $\mathbb{R}^3$ sao cho

$T(\mathbf{e_{1}})=\begin{bmatrix}5\\-7\\2\end{bmatrix}$ và $T(\mathbf{e_{2}})=\begin{bmatrix}-3\\8\\0\end{bmatrix}$

Không có thêm thông tin nào, hãy tìm công thức cho ảnh của một vectơ tùy ý $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{2}$ .

Giải:

(1) $\begin{equation*}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=x_{1}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=x_{1}\mathbf{e_{1}}+x_{2}\mathbf{e_{2}}\end{equation*}$

Vì $T$ là một phép biến đổi tuyến tính, ta có:

(2) $\begin{equation*}T(\mathbf{x})=x_{1}T(\mathbf{e_{1}})+x_{2}T(\mathbf{e_{2}})\end{equation*}$

$=x_{1}\begin{bmatrix}5\\-7\\2\end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix}-3\\8\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5x_{1}-3x_{2}\\-7x_{1}+8x_{2}\\2x_{1}+0\end{bmatrix}$

Bước chuyển từ phương trình (1) sang phương trình (2) giải thích lý do tại sao chỉ cần biết $T(\mathbf{e_{1}})$ và $T(\mathbf{e_{1}})$ là đủ để xác định $T(\mathbf{x})$ với mọi $\mathbf{x}$ . Hơn nữa, vì (2) biểu diễn $T(\mathbf{x})$ dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ, ta có thể đưa các vectơ này vào các cột của một ma trận $A$ và viết (2) dưới dạng:

$T(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}T(\mathbf{e_{1}})\quad&T(\mathbf{e_{2}})\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=A\mathbf{x}$

Định lý 10

Cho $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ là một phép biến đổi tuyến tính. Khi đó, tồn tại duy nhất một ma trận $A$ sao cho

$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ với mọi $\mathbf{x}\in\mathbf{\mathbb{R}^{n}}$

Thực tế, $A$ là ma trận kích thước $m \times n$ mà cột thứ j chính là vectơ $T(\mathbf{e}_j)$ , trong đó ${\mathbf{e}}_j$ là cột thứ j của ma trận đơn vị trong $\mathbb{R}^n$ .

(3) $\begin{equation*}A=\begin{bmatrix}T(\mathbf{e_{1}})&\cdots&T(\mathbf{e_{n}})\\\end{bmatrix}\end{equation*}$

Chứng minh: Ta có $\mathbf{x}=I_{n}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}\mathbf{e_{1}}&\cdots&\mathbf{e_{n}}\\\end{bmatrix}\mathbf{x}=x_{1}\mathbf{e_{1}}+\cdots+x_{n}\mathbf{e_{n}}$ , và sử dụng tính chất tuyến tính của $T$ để tính $T\mathbf{x}$ .

$T(\mathbf{x})=T(x_{1}\mathbf{\mathbf{e_{1}}}+\cdots+x_{n}\mathbf{\mathbf{e_{n}}})=x_{1}T(\mathbf{e_{1}}+\cdots+x_{n}T(\mathbf{e_{n}})$

$=\begin{bmatrix}T\mathbf{e_{1}}&\cdots&T\mathbf{e_{n}}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}=A\mathbf{x}$

Ma trận $A$ trong (3) được gọi là ma trận chuẩn của phép biến đổi tuyến tính $T$ .

Chúng ta biết rằng mọi phép biến đổi tuyến tính từ $\mathbb{R}^n$ đến $\mathbb{R}^m$ có thể được xem là một phép biến đổi ma trận, và ngược lại. Thuật ngữ phép biến đổi tuyến tính tập trung vào tính chất của ánh xạ, trong khi phép biến đổi ma trận mô tả cách thực hiện ánh xạ đó, như minh họa trong Ví dụ 2 và 3.

Ví dụ 2: Tìm ma trận chuẩn $A$ cho phép biến đổi co giãn $T(\mathbf{x})=3\mathbf{x}$ , với $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ .

Giải: Ta có

Ví dụ 3: Cho $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ là phép biến đổi quay mỗi điểm trong $\mathbb{R}^2$ quanh gốc tọa độ một góc ϕ, với chiều ngược kim đồng hồ khi góc dương. Ta có thể chứng minh bằng hình học rằng phép biến đổi này là tuyến tính.

Tìm ma trận chuẩn $A$ của phép biến đổi này.

Giải: Vectơ $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ quay thành $\begin{bmatrix}cos\,\varphi\\sin\,\varphi\end{bmatrix}$ và vectơ $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ quay thành $\begin{bmatrix}-sin\,\varphi\\cos\,\varphi\end{bmatrix}$ . Xem hình 1.

Theo định lý 10, ta có:

$A=\begin{bmatrix}cos\,\varphi&-sin\,\varphi\\sin\,\varphi&cos\,\varphi\end{bmatrix}$

Các Biến Đổi Tuyến Tính Hình Học trong $\mathbb{R}^2$

Ví dụ 2 và 3 minh họa các phép biến đổi tuyến tính được mô tả theo hình học. Các bảng 1–4 trình bày các phép biến đổi tuyến tính hình học phổ biến khác trong mặt phẳng. Vì các phép biến đổi này là tuyến tính, chúng hoàn toàn được xác định bởi cách chúng tác động lên các cột của ma trận đơn vị $I_{2}$ . Thay vì chỉ hiển thị ảnh của $\mathbf{e_{1}}$ và $\mathbf{e_{2}}$ , các bảng này mô tả cách một phép biến đổi tác động lên hình vuông đơn vị (Hình 2).

Các phép biến đổi khác có thể được tạo ra từ những phép biến đổi trong bảng 1–4 bằng cách áp dụng tuần tự nhiều phép biến đổi. Chẳng hạn, một phép kéo xiên theo phương ngang có thể được tiếp nối bằng một phép phản xạ qua trục $x_{2}$ . Phần sau sẽ chứng minh rằng một hợp thành của các phép biến đổi tuyến tính cũng là một phép biến đổi tuyến tính.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 27: Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy