Bài giảng 7: Vị trí trụ

Khi thực hiện các phép biến đổi hàng trên một ma trận để đưa nó về dạng bậc thang, các phép biến đổi tiếp theo nhằm đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn sẽ không làm thay đổi vị trí của các phần tử đứng đầu hàng. Vì dạng bậc thang rút gọn là duy nhất, nên các phần tử đứng đầu hàng này luôn nằm ở cùng một vị trí trong bất kỳ dạng bậc thang nào thu được từ một ma trận cho trước. Các phần tử này tương ứng với các số 1 đứng đầu trong dạng bậc thang rút gọn.

Định nghĩa: Một vị trí trụ trong ma trận A là một vị trí trong A tương ứng với một số 1 đứng đầu trong dạng bậc thang rút gọn của A. Một cột trụ là một cột của A chứa một vị trí trụ.

Ví dụ: Biến đổi ma trận A dưới đây về dạng bậc thang và xác định các cột trụ của A.

Giải: Sử dụng cùng chiến lược cơ bản như trong ví dụ của bài trước. Phần tử trên cùng của cột không phải toàn số 0 bên trái nhất là vị trí trụ đầu tiên. Một phần tử khác 0, gọi là trụ, phải được đặt vào vị trí này. Một lựa chọn tốt là hoán đổi hàng 1 và hàng 4 (vì khi đó các phép tính tiếp theo sẽ không liên quan đến phân số).

Tạo các số 0 bên dưới phần tử trụ, số 1, bằng cách cộng bội số của hàng đầu tiên vào các hàng bên dưới, ta thu được ma trận (1) dưới đây. Vị trí trụ trong hàng thứ hai phải nằm xa nhất về bên trái có thể – tức là nằm ở cột thứ hai. Chọn số 2 tại vị trí này làm phần tử trụ tiếp theo.

Cộng lần hàng 2 vào hàng 3, và cộng lần hàng 2 vào hàng 4.

(2)

Ma trận trong (2) khác với bất kỳ ma trận nào đã gặp trong của bài trước. Không có cách nào để tạo một phần tử đứng đầu hàng trong cột thứ 3! (Ta không thể sử dụng hàng 1 hoặc hàng 2 vì làm vậy sẽ phá vỡ cấu trúc bậc thang của các phần tử đứng đầu đã tạo trước đó). Tuy nhiên, nếu hoán đổi hàng 3 và hàng 4, ta có thể tạo một phần tử đứng đầu hàng trong cột thứ 4.

Ma trận thu được ở dạng bậc thang, và do đó cho thấy rằng các cột 1, 2 và 4 của A là các cột trụ.

Một trụ, như minh họa trong ví dụ trên, là một số khác 0 nằm ở một vị trí trụ và được sử dụng để tạo các số 0 bằng phép biến đổi hàng. Các phần tử trụ trong Ví dụ trên là 1, 2, và -5. Lưu ý rằng các số này không nhất thiết phải là phần tử gốc của A tại các vị trí trụ được đánh dấu trong (3).

Dựa vào ví dụ, chúng ta có thể mô tả một quy trình hiệu quả để biến đổi một ma trận thành dạng bậc thang hoặc dạng bậc thang rút gọn. Việc nghiên cứu và nắm vững quy trình này ngay từ bây giờ sẽ mang lại lợi ích lớn trong các phần tiếp theo của khóa học.