Bài giảng 10 | Phương pháp khử Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính được cho bởi

$\begin{matrix}-3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-1,\\6x_{1}-6x_{2}+7x_{3}=-7,\\3x_{1}-4x_{2}+4x_{3}=-6,\end{matrix}$

Điều này có thể được viết dưới dạng ma trận như sau

$\begin{pmatrix}-3&2&-1\\6&-6&7\\3&-4&4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-7\\-6\end{pmatrix},$

Hoặc ký hiệu là Ax = b.

Thuật toán số học chuẩn được sử dụng để giải một hệ phương trình tuyến tính gọi là phương pháp khử Gauss. Chúng ta đầu tiên tạo ra cái gọi là ma trận mở rộng bằng cách kết hợp ma trận A với vectơ cột b:

$\begin{pmatrix}-3&2&-1&-1\\6&-6&7&-7\\3&-4&4&-6\\\end{pmatrix}.$

Tiến hành giảm hàng trên ma trận mở rộng này. Các phép toán cho phép là (1) hoán đổi thứ tự của bất kỳ hàng nào, (2) nhân bất kỳ hàng nào với một hằng số, (3) cộng một bội số của một hàng vào một hàng khác. Ba phép toán này không làm thay đổi nghiệm của các phương trình ban đầu. Mục tiêu ở đây là chuyển ma trận AA thành dạng tam giác trên, sau đó sử dụng dạng này để giải nhanh các ẩn xx.

Chúng ta bắt đầu với hàng đầu tiên của ma trận và tiến hành từ từ như sau. Đầu tiên, chúng ta nhân hàng đầu tiên với 2 và cộng nó vào hàng thứ hai. Sau đó, chúng ta cộng hàng đầu tiên vào hàng thứ ba, ta có

$\begin{pmatrix}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&-2&3&-7\\\end{pmatrix}.$

Sau đó, chúng ta chuyển sang hàng thứ hai. Chúng ta nhân hàng này với −1 và cộng nó vào hàng thứ ba ta có

$\begin{pmatrix}-3&2&-1&-1\\0&-2&5&-9\\0&0&-2&2\\\end{pmatrix}.$

Ma trận ban đầu A đã được chuyển đổi thành ma trận tam giác trên, và các phương trình đã biến đổi có thể được xác định từ ma trận mở rộng như sau:

$\begin{matrix}-3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-1,\\-2x_{2}+5x_{3}=-9,\\-2x_{3}=2.\end{matrix}$

Các phương trình này có thể được giải bằng cách thay thế ngược, bắt đầu từ phương trình cuối cùng và làm ngược lại. Ta có:

$\begin{matrix}x_{3}=-1,\\x_{2}=-\frac{1}{2}(-9-5x_{3})=2,\\x_{1}=-\frac{1}{2}(-1+x_{3}-2x_{2})=2.\end{matrix}$

Chúng ta đã tìm ra được nghiệm

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}.$

Khi thực hiện phép khử Gauss, phần tử ma trận được sử dụng trong quá trình khử gọi là “pivot”. Để tìm bội số chính xác, ta sử dụng pivot làm mẫu số cho các phần tử ma trận bên dưới nó. Phép khử Gauss như đã thực hiện ở đây sẽ thất bại nếu pivot bằng không. Nếu pivot bằng không, phải thực hiện hoán đổi hàng trước.

Ngay cả khi không có pivot nào bằng không, các giá trị nhỏ vẫn có thể dẫn đến một phép toán số không ổn định. Đối với các ma trận lớn được giải quyết bằng máy tính, vectơ nghiệm sẽ không chính xác trừ khi có sự hoán đổi hàng. Kỹ thuật số kết quả từ việc này được gọi là phép khử Gauss với việc hoán đổi hàng một phần, và thường được giảng dạy trong các khóa học phân tích số tiêu chuẩn.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Sử dụng phép khử Gauss với phương pháp thay thế ngược, giải quyết hai hệ phương trình sau:

$\begin{matrix}(a)\quad 3x_{1}-7x_{2}-2x_{3}=-7\quad\\-3x_{1}+5x_{2}+x_{3}=5\\6x_{1}-4x_{2}=2\\\\(b)\quad x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=-7\quad\\-x_{1}+3x_{2}-x_{3}=5\\2x_{1}-5x_{2}+5x_{3}=2\end{matrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

(a) Quá trình giảm hàng của ma trận mở rộng được thực hiện như sau:

$\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\-3&5&1&5\\6&-4&0&2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\0&-2&-1&-2\\0&10&4&16\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\0&-2&-1&-2\\0&0&-1&6\\\end{pmatrix}$

Giải bằng phương pháp thế ngược được đưa ra như sau:

$\begin{matrix}x_{3}=-6,\\x_{2}=-\frac{1}{2}(x_{3}-2)=4,\\x_{1}=\frac{1}{3}(7x_{2}+2x_{3}-7)=3.\end{matrix}$

Do đó, lời giải là

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}.$

(b) Quá trình giảm hàng của ma trận mở rộng được thực hiện như sau:

$\begin{pmatrix}1&-2&3&1\\-1&3&-1&-1\\2&-5&5&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-2&3&1\\0&1&2&0\\0&-1&-1&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-2&3&1\\0&1&2&0\\0&0&1&-1\\\end{pmatrix}$

Giải bằng phương pháp thế ngược được đưa ra như sau:

$\begin{matrix}x_{3}=-1,\\x_{2}=-2x_{3}=2,\\x_{1}=2x_{2}-3x_{3}+1=8.\end{matrix}$

Do đó, lời giải là

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\\-1\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 10 | Phương pháp khử Gauss

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy