Bài giảng 5 | Tích trong và tích ngoài

Tích trong (hay còn gọi là tích chấm, tích vô hướng) giữa hai vector được tính từ phép nhân ma trận của một vector hàng nhân với một vector cột. Một vector hàng có thể được tạo ra từ một vector cột bằng phép toán chuyển vị. Với hai vector cột u và v kích thước $3\times 1$ , tích trong của chúng được cho bởi

$u^{T}vv=\begin{pmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.$

Nếu tích trong giữa hai vector khác không bằng không, ta nói rằng hai vector này vuông góc với nhau. Chuẩn của một vector được định nghĩa bởi

$\left\|u\right\|=(u^{T}u)^{1/2}=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2})^{1/2}.$

Nếu chuẩn của một vector bằng một, ta nói rằng vector đó là chuẩn hóa. Nếu một tập hợp các vector vuông góc với nhau và đã được chuẩn hóa, ta nói rằng các vector này là trực chuẩn.

Tích ngoài cũng được định nghĩa và được sử dụng trong một số ứng dụng. Tích ngoài giữa u và v được cho bởi

$uv^{T}=\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}u_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\\end{pmatrix}$

Lưu ý rằng mỗi cột là bội của vector duy nhất u, và mỗi hàng là bội của vector duy nhất v^T.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho A là một ma trận hình chữ nhật được cho bởi $A=\begin{pmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{pmatrix}$ . Tính $A^{T}A$ và chứng minh rằng nó là một ma trận vuông đối xứng. Biết rằng tổng các phần tử trên đường chéo của $A^{T}A$ bằng tổng bình phương của tất cả các phần tử của A.

Câu 2: Vết của một ma trận vuông B, ký hiệu là Tr B, là tổng các phần tử trên đường chéo chính của B. Chứng minh rằng $Tr(A^{T}A)$ bằng tổng bình phương của tất cả các phần tử của A.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$A^{T}A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}+c^{2}&ad+be+cf\\ad+be+cf&d^{2}+e^{2}+f^{2}\\\end{pmatrix}$