Bài giảng 2 | Phép cộng và phép nhân ma trận

Các ma trận chỉ có thể được cộng nếu chúng có cùng kích thước. Phép cộng được thực hiện từng phần tử một. Ví dụ:

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e&f\\g&h\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+e&b+f\\c+g&d+h\\\end{pmatrix}$

Các ma trận cũng có thể được nhân với một số vô hướng. Quy tắc là chỉ cần nhân từng phần tử của ma trận với số đó. Ví dụ:

$k\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka&kb\\kc&kd\\\end{pmatrix}$

Ma trận (ngoại trừ nhân với số vô hướng) chỉ có thể được nhân khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nói cách khác, một ma trận m×n ở bên trái chỉ có thể nhân với một ma trận n×k ở bên phải. Ma trận kết quả sẽ có kích thước m×k. Rõ ràng, phép nhân ma trận nói chung không có tính giao hoán.

Chúng ta minh họa phép nhân bằng hai ma trận 2×2:

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}e&f\\g&h\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+gh\\\end{pmatrix}$

Đầu tiên, hàng thứ nhất của ma trận bên trái được nhân và cộng với cột thứ nhất của ma trận bên phải để tạo ra phần tử ở hàng thứ nhất và cột thứ nhất của ma trận kết quả. Thứ hai, hàng thứ nhất được nhân và cộng với cột thứ hai. Thứ ba, hàng thứ hai được nhân và cộng với cột thứ nhất. Và cuối cùng, hàng thứ hai được nhân và cộng với cột thứ hai.

Nói chung, một phần tử trong ma trận kết quả, chẳng hạn ở hàng i và cột j, được tạo ra bằng cách nhân và cộng các phần tử trong hàng i của ma trận bên trái với các phần tử trong cột j của ma trận bên phải.

Chúng ta có thể biểu diễn phép nhân ma trận một cách chính thức thông qua các phần tử của ma trận. Gọi A là ma trận m×n với các phần tử $a_{ij}$ , và B là ma trận n×p với các phần tử $b_{ij}$ . Khi đó C=AB là ma trận m×p, và phần tử hàng i, cột j của C được viết như sau:

$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$

Lưu ý rằng chỉ số thứ hai của a và chỉ số thứ nhất của b được tổng hợp trong phép nhân.

Bài tập

1. Cho các ma trận

$A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&-1&1\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}4&-2&1\\2&-4&-2\\\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix},D=\begin{pmatrix}3&4\\4&3\\\end{pmatrix},E=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$

Hãy tính: $B-2A,3C-E,AC,CD,CB$

2. Cho $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\\\end{pmatrix}and\begin{pmatrix}4&3\\0&2\\\end{pmatrix}$ . Hãy xác minh rằng: $AB=AC$ nhưng $B\neq C$

3. Cho $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&4\\\end{pmatrix}$ và $D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&4\\\end{pmatrix}$ . Hãy tính $AD$ và $DA$

4. Chứng minh luật kết hợp cho phép nhân ma trận. Cụ thể:
Giả sử A là ma trận m×n, B là ma trận n×p, và C là ma trận p×q. Khi đó, chứng minh rằng:

$A(BC)=(AB)C$

Lời giải và đáp án

$B-2A=\begin{pmatrix}0&-4&3\\0&-4&-4\\\end{pmatrix}$

$3C-E$ : Không xác định

$AC$ : Không xác định

$CD=\begin{pmatrix}11&10\\10&11\\\end{pmatrix}$

$CB=\begin{pmatrix}8&-10&-3\\10&-8&0\\\end{pmatrix}$

$AB=AC=\begin{pmatrix}4&7\\8&14\\\end{pmatrix}$

$AD=\begin{pmatrix}2&3&4\\2&6&12\\2&9&16\\\end{pmatrix},DA=\begin{pmatrix}2&2&2\\3&6&9\\4&12&16\\\end{pmatrix}$

$\begin{bmatrix}A(BC)\end{bmatrix}_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}[BC]_{kj}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{p}a_{ik}b_{kl}c_{lj}=\sum_{l=1}^{p}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kl}c_{lj}=\sum_{l=1}^{p}[AB]_{il}c_{lj}=\left[(AB)C\right]_{ij}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 2 | Phép cộng và phép nhân ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy