Bài giảng 36: Đường chéo hóa ma trận (ví dụ)

Ví dụ: Đường chéo hóa ma trận $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}$ .

Các giá trị riêng của A được xác định từ

$det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda&b\\b&a-\lambda\\\end{vmatrix}=(a-\lambda)^{2}-b^{2}=0$ .

Giải phương trình với λ, hai giá trị riêng là λ₁ = a+b\ và λ₂=a−b. Vector riêng tương ứng với λ₁được tìm từ $(A-\lambda_1 I)x_1=0$ , hoặc

$\begin{pmatrix}-b&b\\b&-b\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ ;

và vector riêng tương ứng với λ₂ được tìm từ $(A-\lambda_2 I)x_2=0$ , hoặc

$\begin{pmatrix}b&b\\b&b\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ .

Giải các phương trình để tìm các vector riêng và chuẩn hóa chúng, các giá trị riêng và vector riêng là

$\lambda _{1}=a+b,\quad x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix};\qquad\lambda _{2}=a-b,\quad x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$

Ma trận S của các vector riêng có thể thấy là vuông góc, do đó $S^{-1}=S^{T}$ . Ta có

$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}$ và $S^{-1}=S^{T}=S$

và kết quả đường chéo hóa được cho bởi

$\begin{pmatrix}a+b&0\\0&a-b\\\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Đường chéo hóa ma trận $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}$ .

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Các giá trị riêng và vector riêng của $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}$ là

$\lambda _{1}=2,x_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix};\lambda _{2}=2-\sqrt{2},x_{2}=\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\1\end{pmatrix};\lambda _{3}=2+\sqrt{2},x_{3}=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}.$

Lưu ý rằng ba vector riêng là trực giao lẫn nhau. Điều này sẽ xảy ra khi ma trận là ma trận đối xứng. Nếu chúng ta chuẩn hóa các vector riêng, ma trận với các vector riêng làm các cột sẽ là một ma trận trực giao. Khi chuẩn hóa các vector riêng trực giao (sao cho $S^{-1}=S^T$ ), ta có

$S=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}&1/2&1/2\\0&-1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}&1/2&1/2\\\end{pmatrix}.$

Do đó, chúng ta tìm được

$\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2-\sqrt{2}&0\\0&0&2+\sqrt{2}\\\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}&1/2&-1/\sqrt{2}\\1/2&-1/\sqrt{2}&1/2\\1/2&1/\sqrt{2}&1/2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}&1/2&1/2\\0&-1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}&1/2&1/2\\\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 36: Đường chéo hóa ma trận (ví dụ)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy