Bài giảng 12 | Tính toán ma trận nghịch đảo

Bằng cách đưa một ma trận khả nghịch về dạng bậc thang hàng rút gọn, tức là về ma trận đơn vị, ta có thể tính được ma trận nghịch đảo. Cho một ma trận A, xét phương trình

$AA^{-1}=I,$

cho ma trận nghịch đảo chưa biết A^-1. Gọi các cột của A^-1 lần lượt là các vector $a_{1}^{-1},a_{2}^{-1},..$ . Và gọi các cột của ma trận đơn vị $I$ lần lượt là $e_{1},e_{2},..$ . Phép nhân ma trận A với cột thứ i của A^-1 là phương trình:

$Aa_{i}^{-1}=e_{i},$

trong đó e_i là cột thứ i của ma trận đơn vị.

Phương trình này cho các cột chưa biết của A^-1 gợi ý rằng chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi hàng trên một ma trận bổ sung, trong đó gắn ma trận đơn vị nxn với ma trận nxA. Để tìm A^-1, quá trình khử được tiếp tục cho đến khi thu được rref(A) = I ).

Chúng tôi minh họa dưới đây:

$\begin{pmatrix}-3&2&-1&1&0&0\\6&-6&7&0&1&0\\3&-4&4&0&0&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-3&2&-1&1&0&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&-2&3&1&0&1\\\end{pmatrix}\to$

$\begin{pmatrix}-3&2&-1&1&0&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&0&-2&-1&-1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-3&0&4&3&1&0\\0&-2&5&2&1&0\\0&0&-2&-1&-1&1\\\end{pmatrix}\to$

$\begin{pmatrix}-3&0&0&1&-1&2\\0&-2&0&-1/2&-3/2&5/2\\0&0&-2&-1&-1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&-1/3&1/3&-2/3\\0&1&0&1/4&3/4&-5/4\\0&0&1&1/2&1/2&-1/2\\\end{pmatrix};$

và ta có thể kiểm tra rằng

$\begin{pmatrix}-3&2&-1\\6&-6&7\\3&-4&4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1/3&1/3&-2/3\\1/4&3/4&-5/4\\1/2&1/2&-1/2\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}.$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tính nghịch đảo của

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$\begin{pmatrix}3&-7&-2&1&0&0\\-3&5&1&0&1&0\\6&-4&0&0&0&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2&1&0&0\\0&-2&-1&1&1&0\\0&10&4&-2&0&1\\\end{pmatrix}\to$

$\begin{pmatrix}3&0&3/2&-5/2&-7/2&0\\0&-2&-1&1&1&0\\0&0&-1&3&5&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&0&0&2&4&3/2\\0&-2&0&-2&-4&-1\\0&0&-1&3&5&1\\\end{pmatrix}$