Bài giảng 22: Ứng dụng của không gian null

Một hệ phương trình tuyến tính xác định dưới Ax = b với số ẩn nhiều hơn số phương trình có thể không có nghiệm duy nhất. Nếu u là dạng tổng quát của một vector trong không gian null của A, và v là một vector bất kỳ thỏa mãn Av = b, thì x = u + v thỏa mãn Ax = A(u + v) = Au + Av = 0 + b = b. Do đó, nghiệm tổng quát của Ax = b có thể được viết dưới dạng tổng của một vector tổng quát trong Null(A) và một vector cụ thể thỏa mãn hệ xác định dưới.

Ví dụ, giả sử ta muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình và ba ẩn được cho bởi

$\begin{matrix}2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\2x_{1}-2x_{2}-x_{3}=1,\end{matrix}$

Ở dạng ma trận, hệ được viết là

$\begin{pmatrix}2&2&1\\2&-2&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$

Đầu tiên, ta đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang hàng rút gọn:

$\begin{pmatrix}2&2&1&0\\2&-2&-1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&1/4\\0&1&1/2&-1/4\\\end{pmatrix}.$

Không gian null thỏa mãn Au = 0 được xác định từ u₁ = 0 và u₂ = −u₃/2, và ta có

$Null(A)=span\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Một nghiệm cụ thể cho hệ phi đồng nhất thỏa mãn Av = b được tìm bằng cách giải v₁ = 1/4 và v₂ + v₃/2 = −1/4. Ở đây, ta đơn giản lấy biến tự do v₃ = 0, và tìm được v₁ = 1/4 và v₂ = −1/4.
Nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính xác định dưới ban đầu là tổng của không gian null và nghiệm cụ thể, được cho bởi

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}.$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình được cho bởi

$-3x_{1}+6x_{2}-x_{3}+x_{4}=-7,$

$x_{1}-2x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=-1,$

$2x_{1}-4x_{2}+5x_{3}+8x_{4}=-4.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Hệ phương trình ở dạng ma trận được cho bởi

$\begin{pmatrix}-3&6&-1&1\\1&-2&2&3\\2&-4&5&8\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-1\\-4\end{pmatrix}.$

Ta lập ma trận mở rộng và đưa bốn cột đầu tiên về dạng bậc thang hàng rút gọn:

$\begin{pmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Không gian null được tìm bằng cách giải Au = 0, và viết các biến cơ bản ở vế trái, ta có hệ phương trình u₁ = 2u₂ + u₄, u₃ = −2u₄;

từ đó, ta có thể viết dạng tổng quát của không gian null là

$\begin{pmatrix}2u_{2}+u_{4}\\u_{2}\\-2u_{4}\\u_{4}\end{pmatrix}=u_{2}\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+u_{4}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\1\end{pmatrix}.$

Một nghiệm cụ thể được tìm bằng cách giải Av = b, và ta có

$v_{1}-2v_{2}-v_{4}=3,\quad v_{3}+2v_{4}=-2.$

Các biến tự do v₂ và v₄ có thể được đặt bằng 0, và nghiệm cụ thể được xác định là v₁ = 3 và v₃ = −2. Nghiệm tổng quát của hệ phương trình xác định dưới do đó được cho bởi

$x=a\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\-2\\0\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 22: Ứng dụng của không gian null

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy