Luyện tập: Đường chéo hoá ma trận

Câu 1: Giả sử λ₁ và λ₂ là các giá trị riêng phân biệt của một ma trận 2×2 A. Trong số các lựa chọn sau, vector riêng nào không thể là vector riêng tương ứng?

a) $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},x_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

b) $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},x_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

c) $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},x_{2}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$

d) $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},x_{2}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

Câu 2: Ma trận nào bằng $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}^{100}$ ?

a) $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\\end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}$

Câu 3: Ma trận nào bằng e^I, trong đó I là ma trận đơn vị 2×2?

a) $\begin{pmatrix}e&0\\0&e\\\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix}0&e\\e&0\\\end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án c

Các vector riêng với các giá trị riêng khác nhau phải độc lập tuyến tính. Tất cả các cặp vector riêng được liệt kê đều độc lập tuyến tính, ngoại trừ $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},x_{2}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ , ở đây $x_{2}=-x_{1}$ .

Câu 2: đáp án d

Một phép tính đơn giản cho thấy rằng

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}=I.$

Do đó

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}^{100}=\left(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}^{2}\right)^{50}=I^{50}=I.$

Một phép tính phức tạp hơn sẽ chéo hóa ma trận đối xứng này. Các giá trị riêng và các vector riêng trực chuẩn được tìm thấy là

$\lambda _{1}=1,v _{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ và $\lambda _{2}=-1,v _{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ .

Phép chéo hóa sau đó có dạng

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}$

Khi đó

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}^{100}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}^{100}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}$

$=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}=I$

Câu 3: đáp án a

Ta có

$e_{I}=I+I+\frac{I^{2}}{2!}+\frac{I^{3}}{3!}+\cdots=I(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots)=Ie_{1}=\begin{pmatrix}e&0\\0&e\\\end{pmatrix}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Đường chéo hoá ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy