Bài giảng 32: Bài toán giá trị riêng

Cho A là một ma trận vuông, x là một vector cột, và λ là một vô hướng. Bài toán giá trị riêng của A giải phương trình

$Ax=\lambda x$

với các giá trị riêng λ_i cùng các vector riêng tương ứng x_i. Sử dụng ma trận đơn vị I, bài toán giá trị riêng có thể được viết lại dưới dạng phương trình thuần nhất

$(A-\lambda I)x=0,$

trong đó ma trận (A−λI) chính là ma trận A với λ được trừ khỏi đường chéo của nó. Để tồn tại các vector riêng khác không, ma trận (A−λI) phải là ma trận suy biến, tức là:

$det(A-\lambda I)=0.$

Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Theo công thức Leibniz, phương trình đặc trưng của một ma trận kích thước n×n là một phương trình đa thức bậc n theo λ. Với mỗi giá trị λ_i tìm được, vector riêng tương ứng x_icó thể được xác định trực tiếp bằng cách giải phương trình $(A-\lambda_i I)x=0$ để tìm x.

Ví dụ minh họa, chúng ta tính các giá trị riêng của một ma trận tổng quát kích thước 2×2. Ta có

$0=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda\end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc);$

Phương trình đặc trưng này có thể viết lại dưới dạng

$\lambda^{2}-TrA\lambda+detA=0,$

trong đó $\operatorname{Tr}A$ là trace của ma trận A, tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.

Vì phương trình đặc trưng của một ma trận 2×2 là một phương trình bậc hai, nên nó có thể có:

Hai nghiệm thực phân biệt;
Hai nghiệm phức liên hợp phân biệt;
Một nghiệm thực suy biến.

Tổng quát hơn, các giá trị riêng có thể là số thực hoặc số phức, và một ma trận n×n có thể có ít hơn n giá trị riêng phân biệt.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Sử dụng công thức tính định thức cho ma trận kích thước 3×3, xác định phương trình đặc trưng cho một ma trận tổng quát kích thước 3×3. Phương trình này cần được viết dưới dạng phương trình bậc ba theo λ.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Phương trình đặc trưng được cho bởi

$0=det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a-\lambda&b&c\\d&e-\lambda&f\\g&h&i-\lambda\\\end{vmatrix}\\=(a-\lambda)(e-\lambda)(i-\lambda)+bfg+cdh-c(e-\lambda)g-bd(i-\lambda)-(a-\lambda)fh\\=-\lambda^3+(a+e+i)\lambda^2-(ae+ai+ei-bd-cg-fh)\lambda+aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Kết quả có thể dễ nhớ hơn nếu ta nhớ rằng

$Tr(A)=a+e+i,\quad det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Hệ số của số hạng λ có thể được viết lại như sau

$ae+ai+ei-bd-cg-fh=(ei-fh)+(ai-cg)+(ae-bd)=\begin{vmatrix}e&f\\h&i\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&c\\g&i\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\d&e\\\end{vmatrix},$