Bài giảng 20: Quy trình Gram-Schmidt (ví dụ)

Lấy ví dụ về quy trình Gram-Schmidt, hãy xem xét một không gian con của các ma trận cột 3×1 với cơ sở

và xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian con này. Đặt Sau đó ​ được tính từ

Chuẩn hóa hai vector, ta thu được cơ sở trực chuẩn

Lưu ý rằng hai vector ban đầu v₁ và v₂ xác định không gian con của các ma trận cột 3×1 mà trong đó hàng thứ hai và hàng thứ ba bằng nhau. Rõ ràng, các vector cơ sở trực chuẩn được xây dựng từ quy trình Gram-Schmidt cũng xác định cùng không gian con này.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Xét không gian con của các vector cột 3×1 mà hàng thứ ba bằng giá trị âm của hàng thứ hai, với cơ sở được cho như sau:

Sử dụng quy trình Gram-Schmidt để xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian con này.

Câu 2: Xét không gian con của tất cả các vector cột 4×1 với cơ sở như sau:

Sử dụng quy trình Gram-Schmidt để xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian con này.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Xét

Đặt u₁=v₁​. Khi đó u₂​ được tìm từ

Sau khi chuẩn hóa, ta được cơ sở trực chuẩn

Câu 2: Xét

Đặt u₁=v₁​. Khi đó u₂​ được tìm từ

Tiếp tục, u_3​ được tính từ

Sau khi chuẩn hóa, ta được cơ sở trực chuẩn