Luyện tập: Định nghĩa không gian vector

Câu 1: Tập hợp nào sau đây của các ma trận 3×1 (với các số thực) không phải là một không gian vector?

a) Tập hợp các ma trận 3×1 với số không ở hàng thứ hai.
b) Tập hợp các ma trận 3×1 với tổng của tất cả các hàng bằng một.
c) Tập hợp các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên bằng hàng thứ ba.
d) Tập hợp các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên bằng tổng của hàng thứ hai và hàng thứ ba.

Câu 2: Tập hợp nào dưới đây là độc lập tuyến tính?

$\begin{matrix}a)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\b)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\c)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\d)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\end{matrix}$

Câu 3: Trong các lựa chọn sau đây, cơ sở nào là cơ sở trực chuẩn cho không gian vectơ của tất cả các ma trận 3×1 với tổng của tất cả các hàng bằng không?

$\begin{matrix}a)\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\b)\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\c)\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\d)\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\\end{matrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án b

Một không gian vectơ phải đóng dưới phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng. Tập hợp các ma trận kích thước (3 x1) có tổng của tất cả các hàng bằng 1 không phải là một tập hợp đóng. Ví dụ, (k) nhân với một vectơ có tổng của tất cả các hàng bằng 1 sẽ cho ra một vectơ có tổng của tất cả các hàng bằng (k).

Câu 2: đáp án d

Ta có thể tìm thấy các mối quan hệ sau

$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\quad 8\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}=10\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\\\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},$

Do đó, các tập hợp ba ma trận này là phụ thuộc tuyến tính. Phần còn lại của tập hợp vectơ có thể được đặt vào các hàng của một ma trận, sau đó đưa về dạng bậc thang hàng rút gọn:

$\begin{pmatrix}3&2&1\\3&1&2\\2&1&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&2&1\\0&-1&1\\0&-1/3&-2/3\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&0&3\\0&1&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Vì dạng bậc thang hàng rút gọn là ma trận đơn vị, các vectơ này là độc lập tuyến tính.

Câu 3: đáp án b

Vì ma trận 3×1 có ba bậc tự do, và ràng buộc rằng tổng của tất cả các hàng bằng 0 loại bỏ một bậc tự do, nên cơ sở sẽ bao gồm hai vectơ. Chúng ta có thể tùy ý lấy vectơ chưa chuẩn hóa đầu tiên là $\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}.$ Vectơ trực giao với vectơ đầu tiên này, với tổng của tất cả các hàng bằng 0, là $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}.$ Chuẩn hóa cả hai vectơ, chúng ta được $\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},&\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Định nghĩa không gian vector

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy