Bài giảng 24: Không gian hàng, không gian null trái và hạng

Ngoài không gian cột và không gian null, ma trận A còn có hai không gian vectơ khác liên quan, cụ thể là không gian cột và không gian null của A^T, được gọi lần lượt là không gian hàng và không gian null trái.

Nếu A là ma trận kích thước m×n, thì không gian hàng và không gian null là các không gian con của tất cả các ma trận cột kích thước n×1, trong khi không gian cột và không gian null trái là các không gian con của tất cả các ma trận cột kích thước m×1.

Không gian null bao gồm tất cả các vectơ x sao cho Ax=0. Tức là, không gian null là tập hợp tất cả các vectơ trực giao với không gian hàng của A. Ta nói rằng hai không gian vectơ này là trực giao.

Một cơ sở cho không gian hàng của một ma trận có thể được tìm thấy bằng cách tính dạng bậc thang rút gọn (rref(A). Các vectơ cơ sở được xác định là các hàng của rref(A) (viết dưới dạng vectơ cột) tương ứng với các cột trục. Số chiều của không gian hàng của A do đó bằng với số lượng cột trục, trong khi số chiều của không gian null của A bằng với số lượng cột không phải trục.

Hợp của hai không gian con này tạo thành không gian vectơ của tất cả các ma trận kích thước n×1, và ta nói rằng hai không gian con này là bổ trực giao của nhau.

Hơn nữa, số chiều của không gian cột của A cũng bằng với số lượng cột trục, do đó số chiều của không gian cột và không gian hàng của ma trận là bằng nhau:

dim⁡(Col(A))=dim⁡(Row(A)).

Số chiều này được gọi là hạng của ma trận A. Đây là một kết quả tuyệt vời vì không gian cột và không gian hàng là các không gian con của hai không gian vectơ khác nhau.

Thông thường, ta luôn có rank(A)≤ min⁡(m,n). Khi đạt được dấu bằng, ta nói rằng ma trận có hạng đầy đủ. Nếu A là ma trận vuông và có hạng đầy đủ, thì số chiều của không gian null là bằng 0, và ma trận A là khả nghịch.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm cơ sở cho không gian cột, không gian hàng, không gian null và không gian null trái của ma trận A kích thước 4×5.

$A=\begin{pmatrix}2&3&-1&1&2\\-1&-1&0&-1&1\\1&2&-1&1&1\\1&-2&3&-1&-3\\\end{pmatrix}$

Kiểm tra xem không gian null có phải là bổ trực giao của không gian hàng và không gian null trái có phải là bổ trực giao của không gian cột hay không.

Tìm rank(A). Ma trận này có phải là ma trận có hạng đầy đủ không?

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Chúng ta tìm dạng bậc thang rút gọn của A và A^T:

$A=\begin{pmatrix}2&3&-1&1&2\\-1&-1&0&-1&1\\1&2&-1&1&1\\1&-2&3&-1&-3\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&1&0&-1\\0&1&-1&0&2\\0&0&0&1&-2\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}\\\\\\\to\begin{pmatrix}2&-1&1&1\\3&-1&2&-2\\-1&0&-1&3\\1&-1&1&-1\\2&1&1&-3\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&-5\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}$

Các cột thứ nhất, thứ hai và thứ tư là các cột trục của A, và các cột thứ nhất, thứ hai và thứ ba là các cột trục của A^T. Do đó, không gian cột của A được cho bởi

$Col(A)=span\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\-1\\2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix};$

Không gian hàng của A (tức là không gian cột của A^T) được cho bởi

$Row(A)=span\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\-1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\\1\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Không gian null của A được tìm từ các phương trình

$x_{1}=-x_{3}+x_{5},\quad x_{2}=-x_{3}+2x_{5},\quad x_{4}=2x_{5},$

và một vectơ trong không gian null có dạng tổng quát là

$\begin{pmatrix}-x_{3}+x_{5}\\x_{3}-2x_{5}\\x_{3}\\2x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}=x_{3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_{5}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\2\\1\end{pmatrix}.$