Bài giảng 17 | Độc lập tuyến tính

Các vector {u₁, u₂, …, uₙ} là độc lập tuyến tính nếu với bất kỳ các hệ số vô hướng {c₁, c₂, …, cₙ} phương trình

$c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots+c_{n}u_{n}=0$

chỉ có nghiệm duy nhất là $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0.$ . Điều này có nghĩa là không thể biểu diễn bất kỳ vector nào trong tập $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}$ như là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.

Ví dụ, nếu tồn tại một nghiệm của phương trình trên với $c_{1}\neq 0$ , thì ta có thể giải phương trình để biểu diễn u₁ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại với các hệ số khác không.

Xét ví dụ: Kiểm tra xem ba vector cột 3×1 sau có độc lập tuyến tính hay không:

$\begin{matrix}u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad&v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad&w=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\\\end{matrix}.$

Thật vậy, chúng không độc lập tuyến tính, nghĩa là chúng phụ thuộc tuyến tính, bởi vì w có thể được biểu diễn thông qua u và v. Cụ thể, w=2u + 3v.

Bây giờ, hãy xét ba vector cột 3×1 sau

$\begin{matrix}u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad&v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad&w=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\\end{matrix}.$

Ba vector này là độc lập tuyến tính vì không thể biểu diễn bất kỳ vector nào trong số chúng như là tổ hợp tuyến tính của hai vector còn lại. Nếu quay lại định nghĩa về tính độc lập tuyến tính, ta thấy rằng phương trình

$au+bv+cw=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Chỉ có nghiệm duy nhất là a=b=c=0.

Đối với các ví dụ đơn giản, việc quan sát trực quan thường có thể quyết định xem một tập hợp các vector có độc lập tuyến tính hay không. Đối với một quy trình mang tính thuật toán hơn, hãy đặt các vector dưới dạng các hàng của một ma trận và tính dạng bậc thang hàng tối giản (reduced row echelon form). Nếu hàng cuối cùng trở thành toàn số không, thì các vector là phụ thuộc tuyến tính; ngược lại, nếu không phải toàn số không, thì các vector là độc lập tuyến tính.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Trong các tập hợp vectơ sau, tập hợp nào độc lập tuyến tính?

$\begin{matrix}(a)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\(b)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\\\\(c)\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\\end{Bmatrix}\end{matrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) Ta đặt các vector làm các hàng của một ma trận và tính dạng bậc thang hàng tối giản:

$\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-1&1\\0&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Vì dạng bậc thang hàng tối giản là ma trận đơn vị, các vector là độc lập tuyến tính.

b) Ta đặt các vector làm các hàng của một ma trận và tính dạng bậc thang hàng tối giản:

$\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&0&2\\0&2&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Vì dạng bậc thang hàng tối giản là ma trận đơn vị, các vector là độc lập tuyến tính.

c) Dựa trên quan sát ta thấy

$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.$

Do đó, các vector là phụ thuộc tuyến tính.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 17 | Độc lập tuyến tính

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy