Luyện tập: Bài toán giá trị riêng

Câu 1: Đâu là các giá trị riêng của $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\\\end{pmatrix}$ ?

a) $\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

c) $\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 2: Đâu là các giá trị riêng của $\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\\\end{pmatrix}$ ?

a) $1\pm 3i$

b) $1\pm\sqrt{3}$

c) $3\sqrt{3}\pm 1$

d) $3\pm i$

Câu 3: Đâu là vector riêng của $\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}$ ?

a) $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\1\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án b

Phương trình đặc trưng $\text{det}(A-\lambda I)=0$ đối với một ma trận A kích thước 2×2 đưa đến phương trình bậc hai $\lambda^{2}-TrA\lambda+detA=0,$ trong đó, đối với ma trận đã cho, phương trình trở thành $\lambda^{2}-3\lambda+1=0.$ Việc áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai sẽ dẫn đến $\lambda _{\pm}=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Câu 2: đáp án d

$\text{det}(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}3-\lambda&-1\\1&3-\lambda\\\end{vmatrix}=(3-\lambda)^{2}+1=0.$ Với $i=\sqrt{-1},$ , nghiệm của phương trình là $\lambda _{\pm}=3\pm i$ .

Câu 3: đáp án b

Ta có thể tính các giá trị riêng và vector riêng của ma trận, hoặc kiểm tra các đáp án có sẵn. Nếu ta kiểm tra các đáp án, thì chỉ có một đáp án là vector riêng, và ta có

$\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+\sqrt{2}\\2+2\sqrt{2}\\\sqrt{2}+2\end{pmatrix}=(2+\sqrt{2})\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Bài toán giá trị riêng

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy