Bài giảng 3 | Ma trận đặc biệt

Ma trận không, ký hiệu là 0, có thể có kích thước bất kỳ và là ma trận bao gồm toàn bộ các phần tử bằng 0. Khi nhân với ma trận không, kết quả luôn là ma trận không.

Ma trận đơn vị, ký hiệu là I, là một ma trận vuông (số hàng bằng số cột) với các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính. Nếu A và I là các ma trận vuông có cùng kích thước, thì

$AI=IA=A$ ,

nhân A với I sẽ không làm thay đổi ma trận A. Ma trận không và ma trận đơn vị đóng vai trò tương tự như số không và số một trong phép nhân ma trận. Ví dụ, ma trận không và ma trận đơn vị kích thước 2×2 được biểu diễn như sau:

$0=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix},I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}.$

Ma trận chéo là ma trận mà các phần tử khác 0 chỉ nằm trên đường chéo chính. Ví dụ, một ma trận chéo kích thước 2×2 được biểu diễn như sau:

$D=\begin{pmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\\\end{pmatrix}$

Thông thường, ma trận chéo là ma trận vuông, nhưng chúng cũng có thể là ma trận chữ nhật.

Ma trận dải (band matrix) chỉ có các phần tử khác 0 trên các dải đường chéo. Ví dụ, một ma trận 3×3 có các phần tử khác 0 trên đường chéo chính và các đường chéo sát trên hoặc sát dưới (gọi là ma trận tam giác ba đường chéo) được biểu diễn như sau:

$B=\begin{pmatrix}d_{1}&a_{1}&0\\b_{1}&d_{2}&a_{2}\\0&b_{2}&d_{3}\\\end{pmatrix}$

Ma trận tam giác trên hoặc dưới là ma trận vuông mà các phần tử bên dưới hoặc bên trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ, ma trận tam giác trên và tam giác dưới kích thước 3×3 được biểu diễn như sau:

$U=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\\\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}a&0&0\\b&d&0\\c&e&f\\\end{pmatrix}.$

Bài tập:

$A=\begin{pmatrix}-1&2\\4&-8\\\end{pmatrix}.$

Xây dựng một ma trận B kích thước 2×2 sao cho AB là ma trận không. Sử dụng hai cột khác không cho ma trận B

2. Chứng minh rằng

$\begin{pmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}&0\\0&b_{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&0\\0&a_{2}b_{2}\\\end{pmatrix}$

Chứng minh rằng tích của hai ma trận chéo luôn là một ma trận chéo, với các phần tử trên đường chéo được cho bởi tích các phần tử trên đường chéo của từng ma trận.

3. Chứng minh rằng

$\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\0&a_{3}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}\\0&b_{3}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}\\0&a_{3}b_{3}\\\end{pmatrix}$

Chứng minh rằng tích của hai ma trận tam giác trên luôn là một ma trận tam giác trên, với các phần tử trên đường chéo của ma trận tích được cho bởi tích các phần tử trên đường chéo của từng ma trận.

Lời giải và đáp án:

Tổng quát, phép nhân ma trận có thể được biểu diễn như

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_{1}+bx_{2}\\cx_{1}+dx_{2}\end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}.$

Cho $A=\begin{pmatrix}-1&2\\4&-8\\\end{pmatrix}.$ Lưu ý rằng cột thứ hai của ( A ) là (-2) lần cột thứ nhất. Khi đó, ( AB ) sẽ là ma trận không nếu hàng đầu tiên của ( B ) là 2 lần hàng thứ hai. Ví dụ, nếu chúng ta chọn hàng thứ hai của ( B ) là $\begin{pmatrix}2&3\\\end{pmatrix}$ , thì chúng ta có

$\begin{pmatrix}-1&2\\4&-8\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&6\\2&3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}.$

2. Cho A là ma trận chéo kích thước m-by-p, B là ma trận chéo kích thước p-by-n, và C = AB. Phần tử ij của C được xác định bởi

$c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$

Vì ( A ) là ma trận đường chéo, nên chỉ số hạng khác không duy nhất trong tổng là ( k = i ), và ta có $c_{ij}=a_{ii}b_{ij}$ . Và vì ( B ) là ma trận đường chéo, nên các phần tử khác không duy nhất của ( C ) là các phần tử trên đường chéo $c_{ii}=a_{ii}b_{ii}.$