Bài giảng 14 | Phân rã LU

Trong bài giảng trước, chúng ta đã tìm ra rằng việc khử hàng của một ma trận A có thể được viết là

$M_{3}M_{2}M_{1}A=U,$

trong đó U là ma trận tam giác trên. Khi nghịch đảo các ma trận sơ cấp, chúng ta có

$A=M_{1}^{-1}M_{2}^{-1}M_{3}^{-1}U.$

Bây giờ, ma trận M₁ nhân hàng đầu tiên với hai và cộng nó vào hàng thứ hai. Để nghịch đảo phép toán này, chúng ta chỉ cần nhân hàng đầu tiên với âm hai và cộng nó vào hàng thứ hai, ta được

$M_{1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix},\qquad M_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Tương tự,

$M_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\\\end{pmatrix},\qquad M_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\\\end{pmatrix}.$

$M_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\\\end{pmatrix},\qquad M_{3}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{pmatrix}.$

Do đó

$L=M_{1}^{-1}M_{2}^{-1}M_{3}^{-1}$

được cho bởi

$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1\\\end{pmatrix},$

Đây là ma trận tam giác dưới. Ngoài ra, các phần tử không nằm trên đường chéo của các ma trận nghịch đảo sơ cấp chỉ cần được kết hợp để tạo thành L. Do đó, phân tích LU của A là:

$\begin{pmatrix}-3&2&-1\\6&-6&7\\3&-4&4\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&2&-1\\0&-2&5\\0&0&-2\\\end{pmatrix}.$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm phân tích LU của: $\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&10&4\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&10&4\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&10&4\\\end{pmatrix}$

Do đó

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 14 | Phân rã LU

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy