Bài giảng 35: Đường chéo hóa ma trận

Xét một ma trận A kích thước 2×2 với các giá trị riêng và vector riêng được cho bởi

$\lambda _{1},x_{1}=\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\end{pmatrix};\quad\lambda _{2},x_{2}=\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\end{pmatrix}.$

Xét tích ma trận và phân tích thành nhân tử được cho bởi

$A\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda _{1}x_{11}&\lambda _{2}x_{12}\\\lambda _{1}x_{21}&\lambda _{2}x_{22}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{pmatrix}.$

Tổng quát hóa, ta định nghĩa S là ma trận có các cột là các vector riêng của A, và Λ là ma trận đường chéo với các giá trị riêng trên đường chéo chính. Khi đó, với bất kỳ ma trận n×n nào có n vector riêng độc lập tuyến tính, ta có

$AS=S\Lambda,$

trong đó SSS là ma trận khả nghịch. Nhân cả hai vế bên phải hoặc bên trái với S⁻¹, ta suy ra các hệ thức

$A=S\Lambda S^{-1}$ và $\Lambda=S^{-1}AS.$

Để ghi nhớ thứ tự của S và S⁻¹ trong các công thức này, hãy nhớ rằng A nên được nhân bên phải bởi các vector riêng đặt trong các cột của S.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Chứng minh rằng hai vector riêng tương ứng với hai giá trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính.

Câu 2: Chứng minh rằng nếu các cột của một ma trận kích thước n×n là độc lập tuyến tính, thì ma trận đó khả nghịch. (Vì vậy, một ma trận n×n mà các cột là các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt sẽ khả nghịch.)

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Gọi $\lambda_1$ và $\lambda_2$ là hai giá trị riêng phân biệt của A, với các vector riêng tương ứng là x₁ và x₂.