Bài giảng 16: Không gian vectơ

Một không gian vector bao gồm một tập hợp các vector và một tập hợp các vô hướng. Mặc dù vector có thể khá tổng quát, trong phạm vi của khóa học này, chúng ta chỉ xem xét các vector là ma trận cột thực, và các vô hướng là các số thực.

Để tập hợp các vector và các vô hướng tạo thành một không gian vector, tập hợp các vector phải đóng dưới phép cộng vector và phép nhân vô hướng. Điều đó có nghĩa là, khi bạn nhân bất kỳ hai vector nào trong tập hợp với các số thực và cộng chúng, vector kết quả phải vẫn nằm trong tập hợp.

Ví dụ, hãy xem xét tập hợp các vector bao gồm tất cả các ma trận 3×1, và gọi u và v là hai vector thuộc tập hợp này. Gọi w=au+bv là tổng của hai vector này nhân với các số thực a và b. Nếu w vẫn là một ma trận 3×1, thì tập hợp các vector này đóng dưới phép nhân vô hướng và phép cộng vector, và do đó là một không gian vector.

Chứng minh điều này khá đơn giản. Nếu chúng ta đặt

khi đó

thì rõ ràng www là một ma trận 3×1. Không gian vector này được gọi là

Mối quan tâm chính của chúng ta về không gian vector là xác định các không gian vector liên quan đến các ma trận. Có bốn không gian vector cơ bản của một ma trận m×n A. Chúng được gọi là không gian null (null space), không gian cột (column space), không gian hàng (row space), và không gian null trái (left null space). Chúng ta sẽ tìm hiểu các không gian vector này trong các bài giảng sau.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Giải thích tại sao, trong một không gian vector với các số thực là tập hợp các vô hướng, vector không phải là một phần tử của mọi không gian vector.

Câu 2: Giải thích tại sao các tập hợp sau đây của các ma trận 3×1 (với các số thực làm vô hướng) là không gian vector:

a) Tập hợp các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên bằng không;

b) Tập hợp các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên bằng hàng thứ hai;

c) Tập hợp các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên là bội số của hàng thứ ba.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Giả sử v là một vector trong không gian vector. Khi đó, cả 0v và v+(−1)v đều phải là các vector trong không gian vector và cả hai đều là vector không.

Câu 2: Trong tất cả các ví dụ, các không gian vector đều đóng dưới phép nhân vô hướng và phép cộng vector.