Luyện tập: Các không gian con cơ bản

Câu 1: Trong các tập vectơ sau đây, tập hợp nào các vectơ tạo thành một cơ sở cho không gian null của $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\3&6&1&1\\\end{pmatrix}$ ?

a) $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\-2\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

b) $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

c) $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-3\\2\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

d) $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

Câu 2: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình được cho bởi

$x_{1}+2x_{2}+x_{4}=1,\\2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\3x_{1}+6x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,$

là

a) $a\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}$

b) $a\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

c) $a\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\-3\\2\end{pmatrix}$

d) $a\begin{pmatrix}0\\0\\-3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

Câu 3: Hạng của ma trận $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\3&6&1&1\\\end{pmatrix}$ là bao nhiêu?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án d

Để tìm không gian null của một ma trận, đưa nó về dạng bậc thang rút gọn. Ta có

$\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\3&6&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&1&-2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Với $x_{1}=-2x_{2},x_{3}=0,$ và $x_{4}=0,$ cơ sở cho không gian null là $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Câu 2: đáp án b

Hệ phương trình tuyến tính này là hệ không xác định, và nghiệm sẽ là một vectơ tổng quát trong không gian null của ma trận nhân thêm một vectơ cụ thể thỏa mãn hệ phương trình không xác định. Hệ tuyến tính dưới dạng ma trận được cho bởi

$\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\3&6&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$

Ta đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn

$\begin{pmatrix}1&2&0&1&1\\2&4&1&1&1\\3&6&1&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&1&1\\0&0&1&-1&-1\\0&0&1&-2&-2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&1&1\\0&0&1&-1&-1\\0&0&0&-1&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1\\\end{pmatrix}.$

Một cơ sở cho không gian null là $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ , và một nghiệm cụ thể có thể được tìm bằng cách gán biến tự do x₂=0. Do đó x₁=x₃=0 và x₄=1, và nghiệm tổng quát là

$a\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

với a là một hằng số tự do.

Câu 3: đáp án c

Ma trận ở dạng bậc thang rút gọn là $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&1\\3&6&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}.$ Số lượng cột trục là ba, và đây là hạng của ma trận.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Các không gian con cơ bản

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy