Luyện tập: Phân rã LU

Câu 1: Ma trận sơ cấp nào sau đây nhân hàng thứ hai của một ma trận 4×44 \times 4 với 2 và cộng kết quả vào hàng thứ ba?

$\begin{matrix}a)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\2&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\\\b)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\\\c)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}\\\\d)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&1\\\end{pmatrix}\end{matrix}$

Câu 2: Phân rã LU nào sau đây là của ma trận $\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}$ ?

$\begin{matrix}a)\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-5&1/2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-2\\\end{pmatrix}\\\\b)\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}\\\\c)\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&2&-1\\2&-10&6\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-1&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}\\\\d)\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&2&-1\\4&-5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\-6&14&3\\\end{pmatrix}\end{matrix}$

Câu 3: Giả sử $L=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\4&-5&1\\\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}$ và $b=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}.$ Giải phương trình $LUx=b$ bằng cách đặt $y=Ux$ . Các nghiệm của y và x là:

$\begin{matrix}a)y=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},x=\begin{pmatrix}1/6\\1/2\\-1\end{pmatrix}\\\\b)y=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},x=\begin{pmatrix}-1/6\\-1/2\\1\end{pmatrix}\\\\c)y=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},x=\begin{pmatrix}1/6\\-1/2\\1\end{pmatrix}\\\\d)y=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},x=\begin{pmatrix}-1/6\\1/2\\1\end{pmatrix}\end{matrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án c

Bắt đầu với ma trận đơn vị. Ở hàng thứ ba (hàng được thay đổi) và cột thứ hai (hàng được nhân với 2), đặt một số 2. Ma trận sơ cấp là $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}.$

Câu 2: đáp án b

$A=\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}=M_{1}A,$ trong đó $M_{1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix};$

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&10&4\\\end{pmatrix}=M_{2}M_{1}A,$ trong đó $M_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\\\end{pmatrix};$

$\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&10&4\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}=M_{3}M_{2}M_{1}A,$ trong đó $M_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&5&1\\\end{pmatrix}.$