Bài giảng 18 | Vùng bao phủ, cơ sở và số chiều

Dựa trên một tập hợp các vector, ta có thể tạo ra một không gian vector bằng cách tạo tất cả các tổ hợp tuyến tính của tập hợp vector đó. Vùng bao phủ (span) của tập hợp các vector {v₁,v₂,…,v_n} là không gian vector bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của v₁,v₂,…,v_n. Ta nói rằng một tập hợp các vector bao phủ một không gian vector.

Ví dụ, tập hợp các vector được cho bởi

Tập hợp các vector bao phủ không gian vector của tất cả các ma trận 3×1 với số không ở hàng thứ ba. Không gian vector này là một không gian con của tất cả các ma trận 3×1.

Không cần tất cả ba vector này để bao phủ không gian con này vì bất kỳ vector nào trong số chúng đều phụ thuộc tuyến tính vào hai vector còn lại. Tập hợp vector nhỏ nhất cần thiết để bao phủ một không gian vector tạo thành một cơ sở cho không gian vector đó. Ở đây, với tập hợp các vector trên, ta có thể xây dựng một cơ sở cho không gian con của tất cả các ma trận 3×1 với số không ở hàng thứ ba bằng cách chỉ cần chọn hai trong ba vector từ tập hợp bao phủ trên. Ba vector cơ sở có thể là

Mặc dù tất cả ba tổ hợp đều tạo thành một cơ sở cho không gian con, nhưng tổ hợp đầu tiên thường được ưa chuộng vì đây là một cơ sở trực giao chuẩn. Các vector trong cơ sở này là trực giao với nhau và có độ dài đơn vị.

Số lượng vector trong một cơ sở cho biết số chiều của không gian vector. Ở đây, số chiều của không gian vector của tất cả các ma trận 3×1 với số không ở hàng thứ ba là hai.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm một cơ sở trực giao chuẩn cho không gian vector của tất cả các ma trận 3×1 với hàng đầu tiên bằng hàng thứ hai. Số chiều của không gian vector này là bao nhiêu?

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Một cơ sở trực giao chuẩn có thể là

Số chiều của không gian vector này là hai.