Bài giảng 11 | Dạng bậc thang hàng rút gọn

Một ma trận được gọi là ở dạng bậc thang hàng rút gọn nếu phần tử không bằng không đầu tiên trong mỗi hàng là một, tất cả các phần tử phía dưới và phía trên phần tử này đều bằng không, và bất kỳ hàng nào có tất cả các phần tử bằng không sẽ nằm ở dưới cùng của ma trận.

Quy trình loại bỏ hàng trong phương pháp Khử Gauss có thể được tiếp tục để đưa một ma trận về dạng bậc thang hàng rút gọn. Chúng ta ký hiệu dạng bậc thang hàng rút gọn của một ma trận A là ref (A). Ví dụ, xét ma trận 3×4 sau

$A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&5&6&7\\6&7&8&9\\\end{pmatrix}.$

Quá trình loại bỏ hàng có thể tiếp tục như sau

$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&5&6&7\\6&7&8&9\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&-3&-6&-9\\0&-5&-10&-15\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&1&2&3\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}$

và từ đó chúng ta có

$ref(A)=\begin{pmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Chúng ta nói rằng ma trận A có hai cột trụ, tức là hai cột chứa vị trí trụ với một số 1 trong dạng bậc thang hàng rút gọn.

Lưu ý rằng các hàng có thể cần được hoán đổi khi tính dạng bậc thang hàng rút gọn. Ngoài ra, dạng bậc thang hàng rút gọn của một ma trận A là duy nhất, và nếu A là ma trận vuông khả nghịch, thì ref(A) chính là ma trận đơn vị.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Chuyển các ma trận sau đây sang dạng bậc thang hàng rút gọn và xác định các cột nào là cột trụ:

(a)

$A=\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\-3&5&1&5\\6&-4&0&2\\\end{pmatrix}$

(b)

$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&1\\3&6&2\\\end{pmatrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

(a) Phép biến đổi hàng được thực hiện như sau:

$A=\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\-3&5&1&5\\6&-4&0&2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&-7&-2&-7\\0&-2&-1&-2\\0&10&4&16\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}3&0&3/2&0\\0&-2&-1&-2\\0&0&-1&6\\\end{pmatrix}\\\to\begin{pmatrix}3&0&0&9\\0&-2&0&-8\\0&0&-1&6\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&3\\0&1&0&4\\0&0&1&-6\\\end{pmatrix}.$

Ở đây, các cột một, hai và ba là các cột trụ.

(b) Phép biến đổi hàng được thực hiện như sau:

$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&4\\3&6&2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Ở đây, cột một và cột ba là các cột trụ.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 11 | Dạng bậc thang hàng rút gọn

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy