Bài giảng 15 | Giải (LU)x = b

Phân tích LU rất hữu ích khi cần giải Ax = b với nhiều vế phải khác nhau. Với phân tích LU, ta có

$(LU)x=L(Ux)=b,$

và đặt $y=Ux$ . Sau đó, ta giải $Ly=b$ để tìm y bằng phương pháp thế xuôi, bắt đầu từ phương trình đầu tiên và tiến hành lần lượt để hoàn thành lời giải, và $Ux=y$ để tìm x bằng phương pháp thay thế ngược. Có thể chứng minh rằng đối với các ma trận lớn, việc giải (LU)x=b(LU)x = b nhanh hơn đáng kể so với giải trực tiếp $Ax=b$

Bây giờ, chúng ta minh họa việc giải $(LU)x=b$ với

$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1\\\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}-3&2&-1\\0&-2&5\\0&0&-2\\\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-1\\-7\\-6\end{pmatrix}.$

Với $y=Ux$ , giải $Ly=b$ ta có

$\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-7\\-6\end{pmatrix}.$

Sử dụng phương pháp thế xuôi,

$y_{1}=-1,$

$y_{2}=-7+2y_{1}=-9,$

$y_{3}=-6+y_{1}-y_{2}=2,$

Sau đó, ta giải $Ux=y$ , tức là

$\begin{pmatrix}-3&2&-1\\0&-2&5\\0&0&-2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-9\\2\end{pmatrix}.$

Sử dụng phương pháp thay thế ngược,

$x_{3}=-1$

$x_{2}=-\frac{1}{2}(-9-5x_{3})=2,$

$x_{3}=-\frac{1}{3}(-1-2x+x_{3})=2,$

và chúng ta tìm được: $(x_{1},\quad x_{2},\quad x_{3})=(2,\quad 2,\quad-1).$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Sử dụng

$A=\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}=LU,$

tính nghiệm của $Ax=b$ với

$\begin{matrix}(a)\quad b=\begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix},&\\\\(b)\quad b=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}.\\\end{matrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Chúng ta biết rằng

$A=\begin{pmatrix}3&-7&-2\\-3&5&1\\6&-4&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-5&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-7&-2\\0&-2&-1\\0&0&-1\\\end{pmatrix}=LU.$